FUNÇÕES CONSTANTE E AFIM

1. FUNÇÃO CONSTANTE

Definição

Uma função \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) é chamada de função constante quando associa a qualquer valor de \( x \) sempre o mesmo valor \( y \). Matematicamente, expressa-se como:

\[ f(x) = c \]

onde c é uma constante real (um número fixo).

Características Principais

- O gráfico é uma reta horizontal paralela ao eixo \( x \);

- A função não apresenta crescimento nem decrescimento;

- O domínio é \( D(f) = \mathbb{R} \) (todos os números reais);

- A imagem é \( \text{Im}(f) = \{c\} \) (conjunto unitário contendo apenas a constante);

- A taxa de variação é sempre zero.

Exemplo Prático

\[ f(x) = 3 \]

Não importa qual valor de \( x \) você escolha, o resultado será sempre 3:

- \( f(0) = 3 \)

- \( f(5) = 3 \)

- \( f(-10) = 3 \)

- \( f(100) = 3 \)

Contexto real: Um estacionamento que cobra uma taxa fixa de \( R\$ 15{,}00 \), independentemente do tempo de permanência, pode ser representado por \( f(t) = 15 \), onde \( t \) é o tempo.

2. FUNÇÃO AFIM

Definição

Uma função \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) é chamada de função afim quando pode ser expressa na forma:

\[ f(x) = ax + b \]

onde:

- a é o coeficiente angular (taxa de variação ou inclinação)

- b é o coeficiente linear (termo independente)

- \( a \neq 0 \) (caso contrário, seria função constante)

Características Principais

Coeficiente angular (a):

- Determina a inclinação da reta

- Se \( a > 0 \): função crescente (reta sobe)

- Se \( a < 0 \): função decrescente (reta desce)

- Representa quanto \( y \) varia quando \( x \) aumenta 1 unidade

Coeficiente linear (b):

- Indica onde a reta corta o eixo \( y \)

- É o valor de \( f(0) \)

- Representa o ponto \( (0, b) \)

Gráfico:

- Sempre uma reta oblíqua (não horizontal, não vertical)

- Domínio: \( D(f) = \mathbb{R} \)

- Imagem: \( \text{Im}(f) = \mathbb{R} \)

Zero ou Raiz da Função

É o valor de \( x \) que torna \( f(x) = 0 \). Para encontrá-lo:

\[ ax + b = 0 \]

\[ x = -\frac{b}{a} \]

Este é o ponto onde a reta corta o eixo \( x \).

Exemplos Práticos

Exemplo 1: \( f(x) = 2x + 3 \)

- \( a = 2 \) (positivo → função crescente)

- \( b = 3 \) (corta o eixo \( y \) em 3)

- Raiz: \( 2x + 3 = 0 \to x = -\frac{3}{2} \)

Calculando alguns valores:

- \( f(0) = 2(0) + 3 = 3 \)

- \( f(1) = 2(1) + 3 = 5 \)

- \( f(-1) = 2(-1) + 3 = 1 \)

Exemplo 2: \( f(x) = -x + 4 \)

- \( a = -1 \) (negativo → função decrescente)

- \( b = 4 \) (corta o eixo \( y \) em 4)

- Raiz: \( -x + 4 = 0 \to x = 4 \)

Exemplo 3 - Contexto real:

Um táxi cobra \( R\$ 5{,}00 \) de bandeirada mais \( R\$ 2{,}50 \) por quilômetro rodado. A função que representa o custo \( C \) em função da distância \( d \) é:

\[ C(d) = 2{,}50d + 5 \]

- Para 0 km: \( C(0) = 5 \) (apenas a bandeirada)

- Para 10 km: \( C(10) = 2{,}50(10) + 5 = 30 \) reais

- Para 20 km: \( C(20) = 2{,}50(20) + 5 = 55 \) reais

3. CASOS ESPECIAIS DA FUNÇÃO AFIM

Função Linear (b = 0)

Quando \( b = 0 \), temos \( f(x) = ax \), chamada de função linear:

- O gráfico passa pela origem \( (0, 0) \)

- Representa proporcionalidade direta

Exemplo: \( f(x) = 3x \)

- \( f(0) = 0 \)

- \( f(2) = 6 \)

- \( f(-1) = -3 \)

Função Identidade (a = 1 e b = 0)

\( f(x) = x \) é a função identidade:

- Cada elemento é associado a si mesmo

- Gráfico é a bissetriz do 1º e 3º quadrantes

OBSERVAÇÕES IMPORTANTES

✓ Toda função constante é um caso particular da função afim onde \( a = 0 \)

✓ A inclinação da reta é medida pelo coeficiente angular: quanto maior \( |a| \), mais inclinada a reta

✓ Duas funções afim com mesmo coeficiente angular \( (a) \) têm retas paralelas

✓ Para traçar o gráfico de uma função afim, basta encontrar dois pontos: geralmente usamos o ponto onde corta o eixo \( y \) \( (0, b) \) e a raiz \( \left(-\frac{b}{a}, 0\right) \)

✓ Funções afim modelam diversas situações cotidianas envolvendo relações lineares: custos, conversões, deslocamentos uniformes, entre outras