Exercícios 4 a 6

 FUNÇÃO QUADRÁTICA

1. DEFINIÇÃO

Uma função quadrática (ou função do segundo grau) é toda função \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida pela lei de formação \( f(x) = ax^2 + bx + c \), onde \( a \), \( b \) e \( c \) são números reais e \( a \neq 0 \).

Os coeficientes têm significados específicos:

- \( a \): coeficiente do termo quadrático (não pode ser zero)

- \( b \): coeficiente do termo linear

- \( c \): coeficiente independente ou termo constante

 Exemplo 1:

\( f(x) = 2x^2 + 3x - 5 \)

Aqui: \( a = 2 \), \( b = 3 \), \( c = -5 \)

 Exemplo 2:

\( g(x) = -x^2 + 4 \)

Aqui: \( a = -1 \), \( b = 0 \), \( c = 4 \)

 Exemplo 3:

\( h(x) = 3x^2 - 6x \)

Aqui: \( a = 3 \), \( b = -6 \), \( c = 0 \)

 2. GRÁFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

O gráfico de uma função quadrática é uma curva chamada PARÁBOLA. A parábola possui características específicas determinadas pelos coeficientes da função.

 2.1 CONCAVIDADE DA PARÁBOLA

A concavidade (direção de abertura) da parábola é determinada pelo sinal do coeficiente \( a \):

- Se \( a > 0 \): concavidade voltada para cima (parábola "sorri")

- Se \( a < 0 \): concavidade voltada para baixo (parábola "chora")

 Exemplo 1:

\( f(x) = 2x^2 + 3x - 1 \)

Como \( a = 2 > 0 \), a parábola tem concavidade para cima.

 Exemplo 2:

\( g(x) = -3x^2 + 2x + 5 \)

Como \( a = -3 < 0 \), a parábola tem concavidade para baixo.

 2.2 INTERSEÇÃO COM O EIXO Y

O ponto onde a parábola intercepta o eixo y ocorre quando \( x = 0 \). Substituindo \( x = 0 \) na função, temos \( f(0) = c \).

Portanto, o ponto de interseção com o eixo y é \( (0, c) \).

 Exemplo:

\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)

\( f(0) = 0^2 - 4(0) + 3 = 3 \)

Ponto de interseção: \( (0, 3) \)

 3. ZEROS OU RAÍZES DA FUNÇÃO

Os zeros (ou raízes) da função quadrática são os valores de \( x \) para os quais \( f(x) = 0 \). Geometricamente, são os pontos onde a parábola intercepta o eixo x.

 3.1 FÓRMULA DE BHASKARA

Para encontrar os zeros, resolvemos a equação \( ax^2 + bx + c = 0 \) usando a fórmula:

\( x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)

onde \( \Delta = b^2 - 4ac \) (discriminante)

 Exemplo:

\( f(x) = x^2 - 5x + 6 \)

\( a = 1 \), \( b = -5 \), \( c = 6 \)

\( \Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 \)

\( x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \)

\( x_1 = \frac{6}{2} = 3 \)

\( x_2 = \frac{4}{2} = 2 \)

Zeros: \( x = 2 \) e \( x = 3 \)

 3.2 DISCRIMINANTE (DELTA)

O discriminante \( \Delta = b^2 - 4ac \) determina a quantidade e o tipo de raízes:

- \( \Delta > 0 \): a função possui duas raízes reais e distintas (a parábola corta o eixo x em dois pontos)

- \( \Delta = 0 \): a função possui uma raiz real (raiz dupla) (a parábola tangencia o eixo x)

- \( \Delta < 0 \): a função não possui raízes reais (a parábola não intercepta o eixo x)

 Exemplo 1:

\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)

\( \Delta = 16 - 12 = 4 > 0 \) (duas raízes reais distintas)

 Exemplo 2:

\( g(x) = x^2 - 6x + 9 \)

\( \Delta = 36 - 36 = 0 \) (uma raiz real dupla)

 Exemplo 3:

\( h(x) = x^2 + 2x + 5 \)

\( \Delta = 4 - 20 = -16 < 0 \) (não possui raízes reais)

 4. FORMAS DE REPRESENTAÇÃO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

Uma função quadrática pode ser escrita de três formas equivalentes, cada uma destacando diferentes características da função.

 4.1 FORMA GERAL OU FORMA PADRÃO

\( f(x) = ax^2 + bx + c \)

É a forma mais comum e direta. Os coeficientes estão explícitos e o termo independente \( c \) representa a interseção com o eixo y.

 Exemplo:

\( f(x) = 2x^2 - 8x + 6 \)

 4.2 FORMA FATORADA

Quando a função possui raízes reais \( x_1 \) e \( x_2 \), ela pode ser escrita como:

\( f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \)

Esta forma facilita a identificação imediata das raízes da função e é especialmente útil para resolver inequações e esboçar gráficos.

Observação importante: A forma fatorada só existe quando \( \Delta \geq 0 \) (quando a função possui raízes reais).

 Exemplo 1:

Escrever \( f(x) = x^2 - 5x + 6 \) na forma fatorada

Primeiro encontramos as raízes:

\( x_1 = 2 \) e \( x_2 = 3 \)

Forma fatorada: \( f(x) = 1(x - 2)(x - 3) = (x - 2)(x - 3) \)

Verificação: \( (x - 2)(x - 3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6 \) ✓

 Exemplo 2:

Escrever \( f(x) = 2x^2 - 8x + 6 \) na forma fatorada

Raízes:

\( \Delta = 64 - 48 = 16 \)

\( x = \frac{8 \pm 4}{4} \)

\( x_1 = 3 \) e \( x_2 = 1 \)

Forma fatorada: \( f(x) = 2(x - 3)(x - 1) \)

Verificação: \( 2(x - 3)(x - 1) = 2(x^2 - 4x + 3) = 2x^2 - 8x + 6 \) ✓

 Exemplo 3:

Escrever \( f(x) = -x^2 + x + 6 \) na forma fatorada

Raízes:

\( \Delta = 1 + 24 = 25 \)

\( x = \frac{-1 \pm 5}{-2} \)

\( x_1 = -2 \) e \( x_2 = 3 \)

Forma fatorada: \( f(x) = -1(x - (-2))(x - 3) = -(x + 2)(x - 3) \)

Verificação: \( -(x + 2)(x - 3) = -(x^2 - x - 6) = -x^2 + x + 6 \) ✓

 Exemplo 4:

Função com raiz dupla

\( f(x) = x^2 - 6x + 9 \)

Raiz dupla: \( x = 3 \)

Forma fatorada: \( f(x) = (x - 3)(x - 3) = (x - 3)^2 \)

 4.3 FORMA CANÔNICA OU FORMA DO VÉRTICE

\( f(x) = a(x - x_v)^2 + y_v \)

onde \( V = (x_v, y_v) \) é o vértice da parábola.

Esta forma facilita a identificação imediata do vértice e é útil para determinar valores máximos ou mínimos.

 Exemplo:

Transformar \( f(x) = x^2 - 6x + 5 \) na forma canônica

Primeiro encontramos o vértice:

\( x_v = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = 3 \)

\( y_v = f(3) = 9 - 18 + 5 = -4 \)

Forma canônica: \( f(x) = (x - 3)^2 - 4 \)

Verificação: \( (x - 3)^2 - 4 = x^2 - 6x + 9 - 4 = x^2 - 6x + 5 \) ✓

 4.4 CONVERSÃO ENTRE AS FORMAS

Da forma geral para a forma fatorada:

1. Encontre as raízes usando Bhaskara

2. Escreva \( f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \)

Da forma fatorada para a forma geral:

Desenvolva o produto: \( a(x - x_1)(x - x_2) = ax^2 - a(x_1 + x_2)x + ax_1x_2 \)

Da forma canônica para a forma geral:

Desenvolva: \( a(x - x_v)^2 + y_v = a(x^2 - 2x_vx + x_v^2) + y_v \)

 Exemplo completo:

\( f(x) = 2x^2 - 12x + 10 \)

Forma fatorada:

Raízes: \( x = \frac{12 \pm \sqrt{144-80}}{4} = \frac{12 \pm 8}{4} \)

\( x_1 = 5 \) e \( x_2 = 1 \)

\( f(x) = 2(x - 5)(x - 1) \)

Forma canônica:

\( x_v = \frac{12}{4} = 3 \)

\( y_v = 2(9) - 12(3) + 10 = 18 - 36 + 10 = -8 \)

\( f(x) = 2(x - 3)^2 - 8 \)

 5. VÉRTICE DA PARÁBOLA

O vértice é o ponto mais alto (quando \( a < 0 \)) ou mais baixo (quando \( a > 0 \)) da parábola. Suas coordenadas são \( V = (x_v, y_v) \), calculadas por:

\( x_v = \frac{-b}{2a} \)

\( y_v = \frac{-\Delta}{4a} \) ou \( y_v = f(x_v) \)

O vértice representa:

- O ponto de máximo da função quando \( a < 0 \)

- O ponto de mínimo da função quando \( a > 0 \)

 Exemplo:

\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)

\( a = 1 \), \( b = -4 \), \( c = 3 \)

\( \Delta = 16 - 12 = 4 \)

\( x_v = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \)

\( y_v = \frac{-4}{4 \cdot 1} = -1 \)

Vértice: \( V = (2, -1) \)

Como \( a = 1 > 0 \), o vértice é ponto de mínimo.

6. EIXO DE SIMETRIA

A parábola é simétrica em relação a uma reta vertical que passa pelo vértice, chamada eixo de simetria. Sua equação é:

\( x = x_v = \frac{-b}{2a} \)

 Exemplo:

Para \( f(x) = 2x^2 - 8x + 5 \)

\( x_v = \frac{-(-8)}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 \)

Eixo de simetria: \( x = 2 \)

 7. VALOR MÁXIMO OU MÍNIMO

O valor máximo ou mínimo de uma função quadrática é a coordenada y do vértice \( (y_v) \):

- Se \( a > 0 \): a função tem valor mínimo igual a \( y_v \)

- Se \( a < 0 \): a função tem valor máximo igual a \( y_v \)

 Exemplo 1:

\( f(x) = -x^2 + 4x - 3 \)

\( a = -1 < 0 \) (tem valor máximo)

\( x_v = \frac{-4}{-2} = 2 \)

\( y_v = -(2)^2 + 4(2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1 \)

Valor máximo: 1 (ocorre quando \( x = 2 \))

 Exemplo 2:

\( g(x) = 2x^2 - 4x + 5 \)

\( a = 2 > 0 \) (tem valor mínimo)

\( x_v = \frac{4}{4} = 1 \)

\( y_v = 2(1)^2 - 4(1) + 5 = 3 \)

Valor mínimo: 3 (ocorre quando \( x = 1 \))

8. ESTUDO DO SINAL

Estudar o sinal de uma função quadrática significa determinar para quais valores de x a função é positiva, negativa ou nula.

O comportamento depende da concavidade (sinal de a) e das raízes (valor de \( \Delta \)):

 CASO 1:

\( a > 0 \) e \( \Delta > 0 \) (parábola para cima com duas raízes \( x_1 \) e \( x_2 \), \( x_1 < x_2 \))

- \( f(x) > 0 \) para \( x < x_1 \) ou \( x > x_2 \)

- \( f(x) = 0 \) para \( x = x_1 \) ou \( x = x_2 \)

- \( f(x) < 0 \) para \( x_1 < x < x_2 \)

 Exemplo:

\( f(x) = x^2 - 5x + 6 \)

Raízes: \( x_1 = 2 \) e \( x_2 = 3 \), \( a = 1 > 0 \)

\( f(x) > 0 \) para \( x < 2 \) ou \( x > 3 \)

\( f(x) = 0 \) para \( x = 2 \) ou \( x = 3 \)

\( f(x) < 0 \) para \( 2 < x < 3 \)

 CASO 2:

\( a > 0 \) e \( \Delta = 0 \) (parábola para cima tangenciando o eixo x)

- \( f(x) > 0 \) para todo \( x \neq x_v \)

- \( f(x) = 0 \) apenas para \( x = x_v \)

- \( f(x) \) nunca é negativa

 Exemplo:

\( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)

Raiz dupla: \( x = 2 \), \( a = 1 > 0 \)

\( f(x) > 0 \) para \( x \neq 2 \)

\( f(x) = 0 \) para \( x = 2 \)

CASO 3:

\( a > 0 \) e \( \Delta < 0 \) (parábola para cima sem interceptar o eixo x)

- \( f(x) > 0 \) para todo \( x \) real

- \( f(x) \) nunca é zero ou negativa

 Exemplo:

\( f(x) = x^2 + 2x + 5 \)

\( \Delta = 4 - 20 = -16 < 0 \), \( a = 1 > 0 \)

\( f(x) > 0 \) para todo \( x \) real

 CASO 4:

\( a < 0 \) e \( \Delta > 0 \) (parábola para baixo com duas raízes)

- \( f(x) < 0 \) para \( x < x_1 \) ou \( x > x_2 \)

- \( f(x) = 0 \) para \( x = x_1 \) ou \( x = x_2 \)

- \( f(x) > 0 \) para \( x_1 < x < x_2 \)

 Exemplo:

\( f(x) = -x^2 + 5x - 6 \)

Raízes: \( x_1 = 2 \) e \( x_2 = 3 \), \( a = -1 < 0 \)

\( f(x) < 0 \) para \( x < 2 \) ou \( x > 3 \)

\( f(x) = 0 \) para \( x = 2 \) ou \( x = 3 \)

\( f(x) > 0 \) para \( 2 < x < 3 \)

 CASO 5:

\( a < 0 \) e \( \Delta = 0 \) (parábola para baixo tangenciando o eixo x)

- \( f(x) < 0 \) para todo \( x \neq x_v \)

- \( f(x) = 0 \) apenas para \( x = x_v \)

- \( f(x) \) nunca é positiva

 Exemplo:

\( f(x) = -x^2 + 6x - 9 \)

Raiz dupla: \( x = 3 \), \( a = -1 < 0 \)

\( f(x) < 0 \) para \( x \neq 3 \)

\( f(x) = 0 \) para \( x = 3 \)

 CASO 6:

\( a < 0 \) e \( \Delta < 0 \) (parábola para baixo sem interceptar o eixo x)

- \( f(x) < 0 \) para todo \( x \) real

- \( f(x) \) nunca é zero ou positiva

 Exemplo:

\( f(x) = -x^2 - 2x - 5 \)

\( \Delta = 4 - 20 = -16 < 0 \), \( a = -1 < 0 \)

\( f(x) < 0 \) para todo \( x \) real

 9. RELAÇÕES ENTRE COEFICIENTES E RAÍZES (RELAÇÕES DE GIRARD)

Quando a função possui raízes \( x_1 \) e \( x_2 \), existem relações importantes:

Soma das raízes: \( x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \)

Produto das raízes: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \)

 Exemplo:

\( f(x) = 2x^2 - 6x + 4 \)

Resolvendo: \( x_1 = 2 \) e \( x_2 = 1 \)

Verificando:

Soma: \( 2 + 1 = 3 = \frac{-(-6)}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) ✓

Produto: \( 2 \cdot 1 = 2 = \frac{4}{2} = 2 \) ✓

 10. CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO - ROTEIRO

Para esboçar o gráfico de uma função quadrática:

1. Identifique o coeficiente \( a \) e determine a concavidade

2. Calcule o discriminante \( \Delta \) para saber quantas raízes existem

3. Encontre as raízes (se existirem) usando Bhaskara

4. Calcule as coordenadas do vértice

5. Determine a interseção com o eixo y (ponto \( (0, c) \))

6. Trace a parábola passando pelos pontos encontrados

 Exemplo completo:

\( f(x) = x^2 - 2x - 3 \)

1. \( a = 1 > 0 \) → concavidade para cima

2. \( \Delta = 4 + 12 = 16 > 0 \) → duas raízes reais

3. Raízes: \( x = \frac{2 \pm 4}{2} \) → \( x_1 = -1 \) e \( x_2 = 3 \)

4. Vértice: \( x_v = 1 \), \( y_v = 1 - 2 - 3 = -4 \) → \( V(1, -4) \)

5. Interseção com eixo y: \( (0, -3) \)

6. Trace a parábola passando por \( (-1, 0) \), \( (0, -3) \), \( (1, -4) \), \( (3, 0) \)

 11. APLICAÇÕES PRÁTICAS

As funções quadráticas aparecem em diversos contextos do cotidiano e da ciência:

- Movimento de projéteis (trajetória parabólica)

- Problemas de máximos e mínimos (lucro, área, perímetro)

- Física (queda livre, lançamento oblíquo)

- Engenharia (arcos parabólicos, antenas, faróis)

 Exemplo de aplicação:

Um fazendeiro tem 100 metros de cerca e deseja construir um cercado retangular aproveitando um muro reto como um dos lados. Qual a área máxima possível?

Seja \( x \) um dos lados perpendiculares ao muro.

Perímetro: \( x + y + x = 100 \), onde \( y \) é o lado paralelo ao muro

Logo: \( y = 100 - 2x \)

Área: \( A(x) = x \cdot y = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2 = -2x^2 + 100x \)

Esta é uma função quadrática com \( a = -2 < 0 \) (tem máximo)

\( x_v = \frac{-100}{-4} = 25 \)

\( y_v = -2(25)^2 + 100(25) = -1250 + 2500 = 1250 \)

Área máxima: 1250 m² (quando \( x = 25 \) m e \( y = 50 \) m)