Definição de Módulo de um Número

Conceito Fundamental

O módulo (ou valor absoluto) de um número real é a distância desse número até a origem (zero) na reta numérica, sempre expressa como um valor não negativo.

Notação: O módulo de um número \( x \) é representado por \( |x| \) (lê-se "módulo de \( x \)" ou "valor absoluto de \( x \)").

Definição Formal

Para qualquer número real \( x \), o módulo é definido como:

\( |x| = \begin{cases} x, & \text{se } x \geq 0 \\ -x, & \text{se } x < 0 \end{cases} \)

Interpretação:

- Se o número é positivo ou zero, o módulo é o próprio número

- Se o número é negativo, o módulo é o seu simétrico (oposto)

Exemplos Numéricos

Números Positivos:

\( |5| = 5 \)

\( |3{,}7| = 3{,}7 \)

\( |\sqrt{2}| = \sqrt{2} \)

Números Negativos:

\( |-5| = 5 \)

\( |-3{,}7| = 3{,}7 \)

\( |-\sqrt{2}| = \sqrt{2} \)

Zero:

\( |0| = 0 \)

Expressões:

\( |7 - 10| = |-3| = 3 \)

\( |2 - 2| = |0| = 0 \)

\( |-4 + 1| = |-3| = 3 \)

Interpretação Geométrica

O módulo representa a distância na reta numérica:

\( |-5| = 5 \) → 5 unidades do zero

\( |0| = 0 \) → 0 unidades do zero

\( |5| = 5 \) → 5 unidades do zero

Observação importante: Números simétricos (opostos) têm o mesmo módulo:

\( |-a| = |a| \) para qualquer número real \( a \)

Propriedades Fundamentais

1. Não Negatividade

\( |x| \geq 0 \) para todo \( x \in \mathbb{R} \)

O módulo nunca é negativo. O menor valor possível é zero.

2. Módulo Zero

\( |x| = 0 \Longleftrightarrow x = 0 \)

O módulo é zero se, e somente se, o próprio número é zero.

3. Simetria

\( |-x| = |x| \)

O módulo de um número e seu oposto são iguais.

4. Multiplicação

\( |x \cdot y| = |x| \cdot |y| \)

O módulo do produto é o produto dos módulos.

Exemplo: \( |(-3) \cdot 4| = |-12| = 12 = |-3| \cdot |4| = 3 \cdot 4 = 12 \) ✓

5. Divisão

\( \left|\frac{x}{y}\right| = \frac{|x|}{|y|} \), para \( y \neq 0 \)

O módulo do quociente é o quociente dos módulos.

Exemplo: \( \left|\frac{-15}{3}\right| = |-5| = 5 = \frac{|-15|}{|3|} = \frac{15}{3} = 5 \) ✓

6. Potência

\( |x^n| = |x|^n \), para \( n \) inteiro positivo

Exemplo: \( |(-2)^3| = |-8| = 8 = |-2|^3 = 2^3 = 8 \) ✓

7. Desigualdade Triangular

\( |x + y| \leq |x| + |y| \)

O módulo da soma é menor ou igual à soma dos módulos.

Exemplo: \( |3 + (-5)| = |-2| = 2 \leq |3| + |-5| = 3 + 5 = 8 \) ✓

8. Relação com Quadrados

\( |x| = \sqrt{x^2} \)

O módulo é a raiz quadrada do quadrado.

Justificativa: Como \( x^2 \) é sempre não negativo, sua raiz quadrada principal representa a distância.

Relação entre x e |x|

Para qualquer número real \( x \):

\( -|x| \leq x \leq |x| \)

Esta relação indica que:

- O próprio número \( x \) está entre \( -|x| \) e \( |x| \)

- A "amplitude" é \( 2|x| \)

Exemplos:

- Para \( x = 3 \): \( -3 \leq 3 \leq 3 \) ✓

- Para \( x = -4 \): \( -4 \leq -4 \leq 4 \) ✓

- Para \( x = 0 \): \( 0 \leq 0 \leq 0 \) ✓

Módulo e Distância

O módulo pode expressar a distância entre dois pontos na reta:

Distância entre \( a \) e \( b \): \( d(a, b) = |b - a| = |a - b| \)

Exemplos:

- Distância entre 2 e 7: \( |7 - 2| = |5| = 5 \)

- Distância entre −3 e 4: \( |4 - (-3)| = |7| = 7 \)

- Distância entre −5 e −1: \( |-1 - (-5)| = |4| = 4 \)

Observação: A ordem não importa, pois \( |b - a| = |a - b| \)