Banco de Exercícios
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Exercício 168
A renda anual por habitante \( r(x) \) de uma cidade pode ser considerada a razão entre o orçamento total da cidade (em \( \text{R\$} \)) e a sua população naquele ano. Considere que orçamento \( o(x) \) de uma cidade entre o ano de 2010 (\( x = 0 \)) até o ano de 2020 (\( x = 10 \)) pode ser modelado pela função \( o(x) = 10x^3 - 3140x^2 + 41850x + 45000 \) e que a população \( p(x) \) desta mesma cidade neste mesmo período de 2010 a 2020 pode ser modelada pela função \( p(x) = -x^2 + 14x + 15 \). A função orçamento e população estão expressos em milhares, isto é, por exemplo, \( o(0) = 45.000 \) significa \( \text{R\$} \) 45.000.000,00 e \( p(0) = 15 \) significa 15.000 habitantes. Nestas condições, é correto afirmar que nesta cidade, no período de 2010 a 2020, a renda anual por habitante \( r(x) \) foi:
Exercício 167
Suponha que, em determinada cidade, o valor da conta de água residencial em função do seu consumo seja dado pelo gráfico. Em uma residência, o valor da conta de água no mês de junho foi de R$ 50,00. Diante dos gastos, os moradores resolveram economizar e reduzir o valor da conta à metade. Para tanto, a redução de consumo deve ser, em metros cúbicos, de
Exercício 166
(ENEM) A exposição a barulhos excessivos, como os que percebemos em geral em trânsitos intensos, casas noturnas e espetáculos musicais, podem provocar insônia, estresse, infarto, perda de audição, entre outras enfermidades. De acordo com a Organização Mundial da Saúde, todo e qualquer som que ultrapasse os 55 decibéis (unidade de intensidade do som) já pode ser considerado nocivo para a saúde. O gráfico foi elaborado a partir da medição do ruído produzido, durante um dia, em um canteiro de obras. Nesse dia, durante quantas horas o ruído esteve acima de 55 decibéis?
Exercício 165
(FGV-SP) Um dispositivo fará com que uma lâmpada acesa se desloque verticalmente em relação ao solo em \( x \) centímetros. Quando a lâmpada se desloca, o comprimento \( y \), em cm, da sombra de um lápis, projetada no solo, também deverá variar. Admitindo a lâmpada como uma fonte pontual, dos gráficos indicados, aquele que melhor representa \( y \) em função de \( x \) é:
Exercício 164
A função de Lorenz de uma população \( P \), denotada por \( L_P(x) \), indica qual a porcentagem da renda dessa população está concentrada entre os \( x \) de menor renda.Sendo \( P \) a população do Brasil, tem-se, por exemplo, \( L_P(0{,}8) = 42{,}3\% \) indicando que os 80% de menor renda na população brasileira detêm apenas 42,3% do total de renda da população (Fonte: IBGE/2013). O gráfico adiante representa a função de Lorenz de três populações: \( A \), \( B \) e \( C \). Com base nessas informações e em outras de Geografia, assinale o que for correto. 01) Mais de 60% do total de renda da população brasileira estão concentrados entre os 10% de maior renda.02) \( L_B(0{,}5) = 0{,}25 \).04) A desigualdade de renda entre os integrantes da população \( B \) é maior do que entre os integrantes da população \( C \).08) 75% da renda da população \( C \) estão concentrados em menos de 25% da população.16) Na população \( A \), todos os integrantes têm a mesma renda.
Exercício 163
(ESPM-SP) O gráfico abaixo mostra a variação do número de unidades vendidas de uma certa mercadoria conforme o preço cobrado por unidade. Comparando-se as situações descritas pelos pontos \( A \) e \( B \), podemos concluir que:
Exercício 162
(CEFET-SC) A velocidade de um carro é medida durante \( 30s \). O gráfico a seguir mostra a variação dessa velocidade \( v \) (em \( km/h \)) ao longo do tempo \( t \) (em \( s \)). Leia atentamente as afirmativas abaixo:I. O automóvel permaneceu parado nos primeiros 5 segundos analisados;II. Entre os instantes \( 12s \) e \( 20s \) a velocidade do automóvel variou;III. O carro não se movimentou entre os instantes \( 12s \) e \( 20s \);IV. A velocidade que o carro atingiu no instante \( 10s \) voltou a ser atingida entre os instantes \( 20s \) e \( 25s \).Estão corretas apenas as afirmativas:
Exercício 161
(UFPR) Suponha que um líquido seja despejado, a uma vazão constante, em um recipiente cujo formato está indicado na figura ao lado. Sabendo que inicialmente o recipiente estava vazio, qual dos gráficos abaixo melhor descreve a altura \( h \), do nível do líquido, em termos do volume total \( V \), do líquido despejado no recipiente?
Exercício 160
(OBMEP) Lúcia está correndo, sempre no mesmo sentido, em uma pista circular. Qual dos gráficos melhor descreve o número \( m \) de voltas completas que ela dá em função da distância \( x \) que ela corre?
Exercício 159
(UFPE) No gráfico a seguir, temos o nível da água armazenada em uma barragem, ao longo de três anos. O nível de 40m foi atingido quantas vezes neste período?
Exercício 158
O gráfico a seguir fornece o perfil do lucro de uma empresa agrícola ao longo do tempo, sendo o ano zero, o ano de sua fundação.Com base no gráfico, julgue os itens a seguir. ( ) 10 foi o único ano em que ela foi deficitária.( ) 20 foi o ano de maior lucro.( ) 25 foi um ano deficitário.( ) 15 foi um ano de lucro.( ) 5 foi o ano de maior lucro no período que vai da fundação até o ano 15.Analisando as proposições em V (verdadeira) e F (Falsa), a sequência correta é:
Exercício 157
(PUC-SP) Seja \( f \) e \( g \) funções reais de domínio real, onde:\( f(x) > 0 \) somente para \( x \geq 3 \) ou para \( x \leq -2 \),\( g(x) > 0 \) somente para \( 1 \leq x \leq 5 \),\( f(x) \neq 0 \) e \( g(x) \neq 0 \) para todo \( x \) real.Nestas condições \( \frac{f(x)}{g(x)} < 0 \) somente para:
Exercício 156
(U.F.MG) Observe o gráfico da função \( f \):Com base nesse gráfico, pode-se afirmar que:
Exercício 155
(ENEM) Muitas vezes o objetivo de um remédio é aumentar a quantidade de uma ou mais substâncias existentes no corpo do indivíduo para melhorar as defesas do organismo. Depois de alcançar objetivo, essa quantidade deve voltar ao normal. Se uma determinada pessoa ingere um medicamento para aumentar a concentração da substância A em seu organismo, a quantidade dessa substância no organismo da pessoa, em relação ao tempo, pode ser melhor representada pelo gráfico:
Exercício 154
(FUNCERN) Uma empresa que fabrica camisas personalizadas recebeu um pedido de um bloco de rua para criar camisas exclusivas para o Carnaval de Recife. O custo total de produção, em reais, é dado pela função \( C(x) = 30x + 750 \), em que \( x \) é o número de camisas vendidas. A receita total obtida com a venda das camisas é dada pela função \( R(x) = 45x \), em que \( x \) também representa a quantidade de camisas vendidas. O número mínimo de camisas que a empresa precisa vender para evitar prejuízo é:
Exercício 153
(UFSCAR-SP) Para estimar a área da figura \( ABDO \) (sombreada no desenho), onde a curva \( AB \) é parte da representação gráfica da função \( f(x) = 2^x \), João demarcou o retângulo \( OCBD \) e, em seguida, usou um programa de computador que plota pontos aleatoriamente no interior desse retângulo. Sabendo que dos 1000 pontos plotados, apenas 540 ficaram no interior da figura \( ABDO \), a área estimada dessa figura, em unidades de área, é igual a:
Exercício 152
(UFRGS) O gráfico abaixo representa uma função definida em \( \mathbb{R} \) por \( y = f(x) \). O valor de \( f(2) + f(-5) \) é igual a:
Exercício 151
(PUC-SP) A receita \( R \) de uma empresa que produz um certo bem de consumo é o produto do preço de venda \( y \) pela quantidade vendida \( x \) daquele bem de consumo. Suponha que o preço \( y \) varie de acordo com \( x \), segundo a equação \( y = 100 - 2x \). Qual a quantidade a ser vendida para que a receita seja máxima?
Exercício 150
(CEFET-MG) Na figura, está representado o gráfico da função \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), tal que \( f(x) = y \). O valor da expressão \( E = f(3) + f(2^5) + f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \) pertence ao conjunto:
Exercício 149
(UFV-MG) Na figura as funções \( f \) e \( g \) estão definidas no intervalo \( [a, b] \). O conjunto solução da equação \( f(x) \cdot g(x) = 0 \) tem:
Exercício 148
(UFPR) Um estudo feito com certo tipo de bactéria detectou que, no decorrer de uma infecção, a quantidade dessas bactérias no corpo de um paciente varia aproximadamente segundo uma função 𝑞(𝑡) que fornece o número de bactérias em milhares por 𝑚𝑚3 de sangue no instante 𝑡. O gráfico da função 𝑞(𝑡) encontra-se esboçado abaixo. O tempo é medido em horas, e o instante 𝑡 = 0 corresponde ao momento do contágio. Com base nessas informações, considere as seguintes afirmativas:I. A função 𝑞(𝑡) é crescente no intervalo [0,48].II. A quantidade máxima de bactérias é atingida 24 horas após o contágio, aproximadamente. III. 60 horas após o contágio, a quantidade de bactérias está abaixo de 1.500 por 𝑚𝑚3. Assinale a alternativa correta.
Exercício 147
(Mack-SP) No gráfico a seguir estão representadas três parábolas (1), (2) e (3) de equações, respectivamente, \( y = ax^2 \), \( y = bx^2 \) e \( y = cx^2 \). Podemos concluir que:
Exercício 146
Em uma competição de velocidade, diz-se que há uma ultrapassagem quando um veículo que está atrás de outro passa à sua frente, com ambos se deslocando no mesmo sentido. Considere uma competição automobilística entre cinco carros em uma pista com 100 m de comprimento, onde todos largam no mesmo instante e da mesma linha. O gráfico mostra a variação da distância percorrida por cada veículo, em função do tempo, durante toda a competição. Qual o número de ultrapassagens, após o início da competição, efetuadas pelo veículo que chegou em último lugar?
Exercício 145
(UNESP-SP) A figura representa a evolução da massa corpórea esperada de bebês ao longo do tempo. A massa corpórea do bebê deve estar na região entre as curvas para que se considere que ele esteja se desenvolvendo bem. Qual a menor massa corpórea esperada para um bebê que esteja se desenvolvendo bem, com idade de 12 meses?
Exercício 144
(UFRGS) As estimativas para o uso da água pelo homem, nos anos 1900 e 2000, foram, respectivamente, de 600 km³ e 4.000 km³ por ano. Em 2025, a expectativa é que sejam usados 6.000 km³ por ano de água na Terra.O gráfico abaixo representa o uso da água em km³ por ano de 1900 a 2025. Com base nos dados do gráfico, é correto afirmar que,
Exercício 143
Seja a função \( f \) definida pelo gráfico abaixo. Determine:a) \( D(f) \)b) \( Im(f) \)c) \( x \) tal que \( f(x) = 0 \)d) \( x \) tal que \( f(x) = 3 \)e) \( x \) tal que \( f(x) \geq 0 \)
Exercício 142
Analise as funções cujos gráficos são dados por:MUNHOZ, Aida F. da Silva; IKIEZAKI, Iracema Mori. Elementos de Matemática. São Paulo: FTD, 1997.
Exercício 141
Analise a função \( f(x) = x^3 - 4x \), cujo gráfico é mostrado a seguir:Fonte: MUNHOZ, Aida F. da Silva; IKIEZAKI, Iracema Mori. Elementos de Matemática. São Paulo: FTD, 1997.
Exercício 140
(U.C.SALVADOR) Sobre a função \( f \), de \( [a, b] \) em \( \mathbb{R} \), cujo gráfico se vê abaixo, é verdade que:
Exercício 139
(U.F.MG) Na figura estão esboçados os gráficos de duas funções \( f \) e \( g \). O conjunto \( \{x \in \mathbb{R}: f(x) \cdot g(x) < 0\} \) é dado por:
Exercício 138
(IFSUL) Sejam as funções reais de variável real \( f(x) = x + 1 \) e \( g(x) = x^2 + 4 \). É correto afirmar, em relação aos seus gráficos, que:
Exercício 137
Certa quantidade de um gás, mantida sempre à mesma temperatura, tem um volume \( V \) que é inversamente proporcional à pressão \( p \). Sabendo que quando a pressão é 1 atm, o volume correspondente é 3 l, determine \( V \) em função de \( p \) e faça um esboço do gráfico.Fonte: MACHADO, Nilson José. Matemática por assunto: vol. 1. 2. ed. São Paulo: Editora Scipione, 1993.
Exercício 136
Dados \( A = \{-1, 0, 1\} \) e \( B = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\} \), construa num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais o gráfico:a) Da função \( f: A \to B \) dada por \( f(x) = 2x + 1 \)b) Da função \( f: A \to B \) dada por \( f(x) = x^2 \)Em ambos os itens escreva o domínio \( D \) e o conjunto imagem \( Im \) da função.Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 135
Faça o gráfico de \( f(x) = |x| \), definida em \( D = \{x \in \mathbb{R} \mid -3 \leq x \leq 3\} \) e encontre a imagem de \( f \).Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática - Tema e Metas: Conjuntos Numéricos e Funções. 2. ed. São Paulo: Atual, 1988.
Exercício 134
Faça o gráfico da função \( f(x) = \sqrt{x} \) nos casos:a) Sendo o domínio \( D = \{0, 1, 2, 3, 4\} \)b) Sendo \( D = \{x \in \mathbb{R} \mid 0 \leq x \leq 4\} \)c) Sendo \( D = \mathbb{R}_+ \)Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática - Tema e Metas: Conjuntos Numéricos e Funções. 2. ed. São Paulo: Atual, 1988.
Exercício 133
Faça o gráfico da função \( f(x) = x^2 \) nos casos:a) Sendo o domínio \( D = \{-2, -1, 0, 1, 2\} \)b) Sendo \( D = \{x \in \mathbb{R} \mid -2 \leq x \leq 2\} \)c) Sendo \( D = \mathbb{R} \)Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática - Tema e Metas: Conjuntos Numéricos e Funções. 2. ed. São Paulo: Atual, 1988.
Exercício 132
Faça o gráfico da função \( f(x) = \frac{x}{2} \) nos casos:a) Sendo o domínio \( D = \{-2, -1, 0, 1, 2\} \)b) Sendo \( D = \{x \in \mathbb{R} \mid -2 \leq x \leq 2\} \)c) Sendo \( D = \mathbb{R} \)Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática - Tema e Metas: Conjuntos Numéricos e Funções. 2. ed. São Paulo: Atual, 1988.
Exercício 131
(UFES) Os raios ultravioletas B, abreviados por UVB, atingem camadas mais profundas da pele e causam, além da vermelhidão, a inibição da síntese de proteínas, das mitoses e várias outras alterações celulares. Esses raios são parcialmente bloqueados pela camada de ozônio: no entanto, com a diminuição dessa camada, a penetração dos raios UVB tem aumentado, o que gera uma elevação potencial da incidência de câncer de pele. O tempo que se pode ficar exposto ao sol sem sofrer queimaduras causadas por radiação ultravioleta pode ser calculado com base no fator de proteção solar (FPS), que é utilizado para a classificação dos filtros solares. O coeficiente de eficiência \( E(x) \) de um creme protetor é dado por \( E(x) = 1 - \frac{1}{x} \), sendo \( x \) o fator de proteção solar (FPS) do creme. Camila quer um creme protetor cujo coeficiente de eficiência seja 12% maior do que o de um creme com FPS igual a 8. Ela deve, portanto, adquirir um creme com FPS igual a:
Exercício 130
(ACAFE-SC) As fórmulas de Fried e Young são funções que determinam as dosagens de certos medicamentos para crianças. A fórmula de Fried, representada pela função \( F(m) = \frac{m}{150} \cdot d \), é usada para crianças até 1 ano de idade. \( F(m) \) é a dose que deve ser aplicada à criança, \( m \) é a idade da criança em meses com \( \{m \in \mathbb{N} \mid 0 < m < 12\} \) e \( d \) é a dose do medicamento aplicada a um adulto. Já a fórmula de Young, representada pela função \( Y(i) = \frac{i}{i+12} \cdot d \), é usada para crianças com idade igual ou superior a 1 ano. \( Y(i) \) é a dose aplicada à criança, \( i \) é a idade da criança em anos completos com \( \{i \in \mathbb{N} \mid 1 \leq i < 12\} \) e \( d \) é a dose do medicamento aplicada a um adulto. Com base nas informações, assinale a alternativa correta.
Exercício 129
(UNICAMP) Para transformar graus Fahrenheit em graus Celsius usa-se a fórmula \( C = \frac{5}{9}(F - 32) \) onde \( F \) é o número de graus Fahrenheit e \( C \) é o número de graus Celsius.a) Transforme 35 graus Celsius em graus Fahrenheit;b) Qual a temperatura (em graus Celsius) em que o número de graus Fahrenheit é o dobro do número de graus Celsius?
Exercício 128
(U.F.MG) Em uma experiência realizada com camundongos, foi observado que o tempo requerido para um camundongo percorrer um labirinto, na enésima tentativa, era dado pela função \( f(n) = \left(3 + \frac{12}{n}\right) \) minutos. Com relação a essa experiência, pode-se afirmar que um camundongo:
Exercício 127
Suponha que o número \( f(x) \) de funcionários necessários para distribuir, em um dia, contas de luz entre \( x \) por cento de moradores, numa determinada cidade, seja dado pela função \( f(x) = \frac{300x}{150-x} \). Se o número de funcionários para distribuir, em um dia, as contas de luz foi 75, qual a porcentagem de moradores que a receberam?
Exercício 126
Numa população de 5000 alevinos de tambacu, estima-se que o número de elementos com comprimento maior ou igual a x cm seja dado, aproximadamente, pela expressão \( N = \frac{5000}{x^2+1} \). Pode-se concluir que o número aproximado de alevinos com comprimento entre 3 cm e 7 cm é igual a:
Exercício 125
(PUC - MG) Um ônibus parte da cidade \( A \) com destino à cidade \( B \). Em cada instante \( t \), medido em horas, a distância que falta percorrer até o destino é dada, em quilômetros, pela função \( D \), definida por: \( D(t) = 40 \cdot \left(\frac{t+7}{t^2+1} - 1\right) \). Com base nessas informações, pode-se estimar que o tempo gasto por esse ônibus para ir de \( A \) até \( B \), em horas, é:
Exercício 124
(PUC-RS) Seja \( f: \mathbb{R}^* \to \mathbb{R} \) a função definida por \( f(x) = \frac{2x-3}{5x} \). O elemento do domínio que tem \( -\frac{2}{5} \) como imagem é:
Exercício 123
(ITA-SP) Consideremos a função \( f(x) = x^3 - 1 + (1 - x)(x^2 + x + 1) \). O conjunto de todas as soluções de \( f(x) = 0 \) é:
Exercício 122
Seja a função \( f: A \to \mathbb{R} \), definida por \( f(x) = x^2 - 2x + 1 \) e \( A = \{-1, 0, 1, 2, 3\} \). Dê o conjunto imagem.Fonte: OLIVEIRA, A. L., MACHADO, A. S., LAUDARES, J. B., ISE, K., FERREIRA, S. F. (1997). Funções – Para Escolas Técnicas Industriais e Centros de Educação Tecnológica. Curitiba. Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná.
Exercício 121
Sabendo que a função \( f \) é uma função real definida por: \( f(x) = \begin{cases} \frac{2}{x^2-1}, & \text{se } x \in \mathbb{Q} \\ 2x^2, & \text{se } x \in \mathbb{Q}' \end{cases} \), ache:a) \( f\left(\frac{1}{2}\right) \), \( f(0) \), \( f(\sqrt{2}) \) e \( f\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \);b) O valor de \( x \) cuja imagem é zero.Fonte: OLIVEIRA, A. L., MACHADO, A. S., LAUDARES, J. B., ISE, K., FERREIRA, S. F. (1997). Funções – Para Escolas Técnicas Industriais e Centros de Educação Tecnológica. Curitiba. Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná.
Exercício 120
Dada a função \( f(x) = \sqrt{2x - 4} \), determine:a) O seu domínio;b) A imagem do número real 9;c) \( x \) para o qual \( f(x) = 0 \).Fonte: MUNHOZ, Aida F. da Silva; IKIEZAKI, Iracema Mori. Elementos de Matemática. São Paulo: FTD, 1997.
Exercício 119
Calcule o zero das funções:a) \( f(x) = x(x + 2) - (x^2 - 4x - 2) \)b) \( f(x) = -\frac{3}{2}(x - 1) + 2(x - 2) \)Fonte: MUNHOZ, Aida F. da Silva; IKIEZAKI, Iracema Mori. Elementos de Matemática. São Paulo: FTD, 1997.
Exercício 118
Dados \( A = \{-1, 0, 1, 2\} \), \( B = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) e a função: \( f = \{(x, y) \in A \times B \mid y = x^2 + 1\} \), determine:a) A imagem do -1 pela função \( f \);b) Se 4 é imagem de algum elemento de \( A \) pela função \( f \);c) O valor de \( x \) para o qual a função \( f \) tem imagem igual a 5.
Exercício 117
Uma função definida por \( f(x) = \frac{x-1}{2x+1} \) tem imagem \( Im = \{-3, -1, 1, 3, 5\} \). Qual é o domínio de \( f \)?Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática - Tema e Metas: Conjuntos Numéricos e Funções. 2. ed. São Paulo: Atual, 1988.
Exercício 116
(U.F.RN) A imagem da função \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), definida por \( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \), contém o elemento:
Exercício 115
Na função \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = x^2 - 2x \), para que valores de \( x \), tem-se \( f(x) = 3 \)? E \( f(x) = 0 \)?Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática - Tema e Metas: Conjuntos Numéricos e Funções. 2. ed. São Paulo: Atual, 1988.
Exercício 114
Seja a função \( f \) de \( \mathbb{R} - \{1\} \) em \( \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = \frac{3x+2}{x-1} \). Qual é o elemento do domínio que tem imagem 2?Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 113
Se \( f \) é tal que \( f(x - 1) = \frac{2x-1}{4x+3} \), \( x \neq -\frac{3}{4} \), obtenha o domínio de \( f \).
Exercício 112
(CEFET-PR) O domínio da função \( f(x) = \sqrt{-x^2 + 3x - 2} + \sqrt{x^2 - 5x + 6} \) é:
Exercício 111
(CESCEA-SP) Uma condição suficiente para que a expressão \( y = \sqrt{x^2 - 4} \) represente uma função é que:
Exercício 110
(CESCEM-SP) O domínio da função \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2-5x+6}} \) é:
Exercício 109
(ITA-SP) Seja \( y = [ax^2 - 2bx - (a + 2b)]^{1/2} \). Em qual dos casos abaixo, \( y \) é real e diferente de zero?
Exercício 108
(UEMG) Um professor solicitou que seus alunos encontrassem o domínio da função \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = \sqrt{\frac{x}{x-1} - \frac{2x}{x+1}} \). O aluno \( A \) resolveu a questão, mas cometeu um erro e respondeu que o domínio dessa função é \( S_1 = \{x \in \mathbb{R} \mid 0 \leq x \leq 3\} \). O aluno \( B \) resolveu a questão corretamente e respondeu que o domínio dessa função é \( S_2 \). Sendo \( A \) o conjunto dos números inteiros pertencentes a \( S_1 \) e \( B \) o conjunto dos números inteiros pertencentes a \( S_2 \), é correto afirmar que \( A \cap B \) é igual a
Exercício 107
(CICE-SP) Seja a função \( f(x) = 3x^2 - 12 \) definida no intervalo \( -4 < x \leq 3 \). A imagem de tal função é tal que:
Exercício 106
Sendo \( D = [6,15] \) e \( f(x) = \frac{x}{3} \), determine a imagem de \( f: D \to \mathbb{R} \).Fonte: MACHADO, Nilson José. Matemática por assunto: vol. 1. 2. ed. São Paulo: Editora Scipione, 1993.
Exercício 105
Para a função \( f \) definida por \( f(x) = \frac{1}{x+1} - \sqrt{-(x^2 - 1)^2} \), determine:a) \( D(f) \)b) \( Im(f) \)Fonte: NETO, Aref Antar; SAMPAIO, José Luiz Pereira; LAPA, Nilton; CAVALLANTTE, Sidney L. Introdução à análise matemática. 2. ed. São Paulo: Blucher, 2020.
Exercício 104
(ITA-SP) Os valores de \( x \in \mathbb{R} \), para os quais a função real dada por:\( f(x) = \sqrt{5 - ||2x - 1| - 6|} \) está definida, formam o conjunto:
Exercício 103
(UDESC) O domínio da função \( f(x) = \frac{\sqrt{2-x}}{x^2-4x+4} \), em ℝ, é formado por \( x \) real tal que:
Exercício 102
Ache o domínio de:a) \( f(x) = \sqrt[3]{x - 3} + \sqrt[3]{x - 2} \)b) \( g(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x-3}} + \frac{1}{\sqrt{x-2}} \)Fonte: MACHADO, Nilson José. Matemática por assunto: vol. 1. 2. ed. São Paulo: Editora Scipione, 1993.
Exercício 101
Determine os domínios de cada uma das funções definidas por:a) \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{|x|-x}} \)b) \( f(x) = \sqrt{\frac{1+|x|}{1-|x|}} \)Fonte: NETO, Aref Antar; SAMPAIO, José Luiz Pereira; LAPA, Nilton; CAVALLANTTE, Sidney L. Introdução à análise matemática. 2. ed. São Paulo: Blucher, 2020.
Exercício 100
Determine o domínio em ℝ das funções definidas por:a) \( y = \sqrt{\frac{(3x+1)(-x-1)}{-3x-2}} \)b) \( y = \sqrt{(2x - 3)(-x - 2)} + \sqrt{4x - 7} \)Fonte: MUNHOZ, Aida F. da Silva; IKIEZAKI, Iracema Mori. Elementos de Matemática. São Paulo: FTD, 1997.
Exercício 99
Determine o domínio das funções reais:a) \( y = \frac{\sqrt{5-10x}}{\sqrt{6-x}} \)b) \( y = \sqrt{\frac{5-10x}{6-x}} \)Fonte: OLIVEIRA, A. L., MACHADO, A. S., LAUDARES, J. B., ISE, K., FERREIRA, S. F. (1997). Funções – Para Escolas Técnicas Industriais e Centros de Educação Tecnológica. Curitiba. Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná.
Exercício 98
Determine o domínio das funções reais:a) \( y = \sqrt[8]{(5x + 2)(-4x^2 + 5x + 6)} \)b) \( y = \frac{5x+3}{2x+8} + \frac{5x}{\sqrt{1-x}} + \sqrt[3]{\frac{x-7}{2x-4}} \)Fonte: OLIVEIRA, A. L., MACHADO, A. S., LAUDARES, J. B., ISE, K., FERREIRA, S. F. (1997). Funções – Para Escolas Técnicas Industriais e Centros de Educação Tecnológica. Curitiba. Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná.
Exercício 97
Determine o domínio em ℝ das funções definidas por:a) \( y = \frac{3-2x}{\sqrt{(5x-1) \cdot (-3x-4) \cdot (-2x+1)}} \)b) \( y = \frac{\sqrt{(2x-1) \cdot (x+2)}}{x-3} \)Fonte: MUNHOZ, Aida F. da Silva; IKIEZAKI, Iracema Mori. Elementos de Matemática. São Paulo: FTD, 1997.
Exercício 96
Determine o domínio em ℝ das funções definidas por:a) \( y = \sqrt{2x - 1} - \sqrt{3 - 4x} \)b) \( y = \frac{1}{\sqrt{-3x-5}} + \frac{1}{\sqrt{9-5x}} \)Fonte: MUNHOZ, Aida F. da Silva; IKIEZAKI, Iracema Mori. Elementos de Matemática. São Paulo: FTD, 1997.
Exercício 95
(UFMA) O domínio da função real de uma variável real \( y = \frac{1}{1+\sqrt{1-x}} \) :
Exercício 94
O domínio da função real definida por \( f(x) = \sqrt{-x + m} \) é \( d(f) = ]-\infty, 2] \). Determine \( m \).Fonte: NETO, Aref Antar; SAMPAIO, José Luiz Pereira; LAPA, Nilton; CAVALLANTTE, Sidney L. Introdução à análise matemática. 2. ed. São Paulo: Blucher, 2020.
Exercício 93
(PUC-RS) O domínio da função real dada por \( f(x) = \sqrt{\frac{1+x}{x-4}} \) é:
Exercício 92
Sejam as funções \( f(x) = \sqrt[5]{x + 2} \) e \( g(x) = \sqrt[4]{x - 3} \). Determine o domínio e as fórmulas que definem \( f + g \), \( f - g \), \( f \cdot g \) e \( \frac{f}{g} \).Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática - Tema e Metas: Conjuntos Numéricos e Funções. 2. ed. São Paulo: Atual, 1988.
Exercício 91
Represente, recorrendo a intervalos, o domínio em ℝ, das funções:a) \( y = \frac{x+3}{x^2-9} + \frac{\sqrt[10]{x+2}}{\sqrt[4]{-2x+10}} \)b) \( y = \frac{\sqrt{x-1}}{x^3} + \frac{2x}{\sqrt{x+4}} \)Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 90
Encontre o domínio das funções:a) \( f(x) = \frac{x + 1}{x - 1} + \frac{1}{x^2 - 9} \)b) \( f(x) = \sqrt{2x - 1} \)c) \( f(x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x - 2}} \)Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 89
Determine o domínio \( D \) da função definida por:a) \( f(x) = \frac{x}{x - 5} \)b) \( f(x) = \frac{1}{x^2 - 9x + 20} \)c) \( f(x) = \frac{1}{x} + \frac{x}{x + 3} \)Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 88
(FATEC) Se \( y_1 = a + \frac{c}{a}x \), \( y_2 = a - \frac{c}{a}x \), \( a > 0 \), \( a < c \) e \( x < -a \), então:
Exercício 87
(FUVEST-SP) A função que representa o valor a ser pago após o desconto de 3% sobre o valor \( x \) de uma mercadoria é:
Exercício 86
(SANTA CASA-SP) Segundo estudos publicados, a chance \( C \) de um indivíduo sofrer um acidente de trânsito após ingerir \( n \) doses de bebida alcóolica, quando comparado ao seu estado sóbrio, é aumentada, em número aproximado de vezes, de acordo com a função \( C(n) = \frac{1}{2} \cdot (7n^2 - 18n + 14) \), para \( n \geq 2 \).A ingestão de nova dose de bebida alcóolica faz com que aumente a chance de uma pessoa sofrer um acidente. A expressão \( C(n) - C(n - 1) \) descreve o aumento da chance de uma pessoa sofrer um acidente, quando comparado à sua ingestão de uma dose a menos. Essa expressão equivale a:
Exercício 85
(ENEM) Uma pessoa precisa contratar um operário para fazer um serviço em sua casa. Para isso, ela postou um anúncio em uma rede social.Cinco pessoas responderam informando preços por hora trabalhada, gasto diário com transporte e tempo necessário para conclusão do serviço, conforme valores apresentados no quadro.Se a pessoa pretende gastar o mínimo possível com essa contratação, irá contratar o operário
Exercício 84
(UFRGS) Um reservatório tem capacidade para 1000 litros de água e está, inicialmente, vazio quando é aberta uma torneira que libera água numa vazão constante e igual a \( x \) litros por hora. Considere \( y \) o tempo, em horas, necessário para encher de água o reservatório. A expressão matemática que expressa \( y \) em função de \( x \) é:
Exercício 83
(UEL-PR) Como podemos compreender a dinâmica de transformar números? Essa pergunta pode ser respondida com o auxílio do conceito de uma função real. Vejamos um exemplo. Seja \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) a função dada por \( f(x) = x\sqrt{5} + 1 - 2x \). Se \( a, b \in \mathbb{R} \) são tais que \( f(a) = b \), então diremos que \( b \) é descendente de \( a \) e, também convencionaremos dizer que \( a \) é ancestral de \( b \). Por exemplo, 1 é descendente de 0, já que \( f(0) = 1 \). Note também que 1 é ancestral de \( \sqrt{5} - 1 \), uma vez que \( f(1) = \sqrt{5} - 1 \).Com base na função dada, e nessas noções de descendência e ancestralidade, atribua V (verdadeiro) ou F (falso) às afirmativas a seguir.( ) Todo número real tem descendente.( ) \( 2 + \sqrt{5} \) é ancestral de 2.( ) Todo número real tem ao menos dois ancestrais distintos.( ) Existe um número real que é ancestral dele próprio.( ) \( 6 - 2\sqrt{5} \) é descendente de 5.Assinale a alternativa que contém, de cima para baixo, a sequência correta.
Exercício 82
(ESPM-RS) Considere a função \( f: \mathbb{N}^* \to \mathbb{N} \), tal que \( f(x) \) seja o número máximo de interseções de \( x \) retas do plano. Assinale a única afirmação FALSA entre as alternativas abaixo:
Exercício 81
(VUNESP-SP) Carlos trabalha como disc-jóquei (dj) e cobra uma taxa fixa de \( \text{R}\$ \text{ 100,00} \), mais \( \text{R}\$ \text{ 20,00} \) por hora, para animar uma festa. Daniel, na mesma função, cobra uma taxa fixa de \( \text{R}\$ \text{ 55,00} \), mais \( \text{R}\$ \text{ 35,00} \) por hora. O tempo máximo de duração de uma festa, para que a contratação de Daniel não fique mais cara que a de Carlos, é:
Exercício 80
Sabendo que 𝑥 e 𝑦 são grandezas inversamente proporcionais e conhecendo os gráficos abaixo, determine 𝑦 como função de 𝑥.Fonte: MACHADO, Nilson José. Matemática por assunto: vol. 1. 2. ed. São Paulo: Editora Scipione, 1993
Exercício 79
Sabendo que 𝑥 e 𝑦 são grandezas diretamente proporcionais e conhecendo os gráficos abaixo, determine 𝑦 como função de 𝑥.Fonte: MACHADO, Nilson José. Matemática por assunto: vol. 1. 2. ed. São Paulo: Editora Scipione, 1993
Exercício 78
(PUC-CAMP) Considerando \( \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\} \) e, ainda, \( A = \left\{x \in \mathbb{N} \mid \frac{24}{x} = n, n \in \mathbb{N}\right\} \) e \( B = \{x \in \mathbb{N} \mid 3x + 4 < 2x + 9\} \), podemos afirmar que:
Exercício 77
1) As funções: \( f \) de \( \mathbb{R} \) em \( \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = \sqrt{x^2} \) e \( g \) de \( \mathbb{R} \) em \( \mathbb{R} \) definida por \( g(x) = x \) são iguais? Justifique.2) As funções \( f \) e \( g \) de \( A = \{x \in \mathbb{R} \mid -1 \leq x \leq 0 \text{ ou } x > 1\} \) em \( \mathbb{R} \), definidas por \( f(x) = \sqrt{\frac{x + 1}{x^2 - x}} \) e \( g(x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x^2 - x}} \) são iguais? Justifique.Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 76
(V.UNIF.RS) Sejam \( V = \{(P, Q) \mid P \text{ e } Q \text{ são vértices distintos de um hexágono regular}\} \) e \( f \) uma função que associa a cada par \( (P, Q) \in V \) a distância de \( P \) a \( Q \). O número de elementos do conjunto imagem de \( f \)
Exercício 75
(PUC-Santos-SP) Dados \( A = \{x \in \mathbb{N} \mid 1 \leq x \leq 130\} \) e \( B = \{x \in \mathbb{N} \mid 0 \leq x \leq 9\} \), definimos a função \( f: A \to B \) por \( f(x) = \text{algarismo das unidades de } x \). Então o número de elemento de \( A \) associados ao número \( 2 \in B \) é:
Exercício 74
(UF OURO PRETO – MG) Uma empresa aérea vai vender passagem para um grupo de 100 pessoas. A empresa cobrará do grupo, 2000 dólares por passageiro embarcado mais 400 dólares por passageiro que não embarcar. Pergunta-se:a) Qual a relação entre a quantidade de dinheiro arrecadado pela empresa e o número de passageiros embarcados?b) Quanto arrecadará a empresa se só viajarem 50 passageiros?c) Quantos passageiros viajarão se a empresa só conseguir arrecadar 96000 dólares?
Exercício 73
(UNICAMP-SP) O preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa, denominada bandeirada, e uma parcela que depende da distância percorrida. Se a bandeirada custa R\$ 3,44 e cada quilômetro rodado custa R\$ 0,86, calcule:a) O preço de uma corrida de 11km;b) A distância percorrida por um passageiro que pagou R$ 21,50 pela corrida.
Exercício 72
Pesando diferentes esferas de aço, numa experiência, com o intuito de obter dados para estabelecer a relação entre as grandezas massa \( (m) \) e volume \( (v) \) do aço, obtemos a tabela:Qual a relação que pode ser estabelecida entre essas grandezas?Fonte: OLIVEIRA, A. L., MACHADO, A. S., LAUDARES, J. B., ISE, K., FERREIRA, S. F. (1997). Funções – Para Escolas Técnicas Industriais e Centros de Educação Tecnológica. Curitiba. Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná.
Exercício 71
1) Num quadrado de lado \( l \), a medida da diagonal é igual a \( d \). Qual a fórmula matemática que expressa a relação entre \( l \) e \( d \)?2) Num triângulo equilátero, a medida do lado é representada por \( x \) e a medida do perímetro é representada por \( y \). Responda:a) Qual a fórmula matemática que expressa a relação entre \( x \) e \( y \)?b) Nessa fórmula, que é uma lei de associação de uma função, qual é a variável independente e qual é a variável dependente?Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 70
Qual é a notação das seguintes funções?a) \( f \) é função de \( \mathbb{Q} \) em \( \mathbb{Q} \) que associa cada número racional ao seu oposto adicionado com 1.b) \( g \) é a função de \( \mathbb{Z} \) em \( \mathbb{Q} \) que associa cada número inteiro à potência de base 2 desse número.c) \( h \) é a função de \( \mathbb{R}^* \) em \( \mathbb{R} \) que associa cada número real ao seu inverso.Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 69
(U.F.MG) Dos gráficos, o único que representa uma função de imagem \( \{y \in \mathbb{R} : 1 \leq y \leq 4\} \) e domínio \( \{x \in \mathbb{R} : 0 \leq x < 3\} \) é:
Exercício 68
(UDESC) Seja \( f \), \( g \) e \( h \) as funções cujos gráficos estão ilustrados abaixo. O intervalo que representa o conjunto \( (\text{Im}(f) \cap \text{Im}(g)) - (D(f) \cap \text{Im}(h)) \) é:
Exercício 67
(UFBH) O domínio e a imagem da função representada são, respectivamente:
Exercício 66
Examine o gráfico de cada relação, dê o domínio e imagem e diga se é ou não gráfico de uma função.Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática - Tema e Metas: Conjuntos Numéricos e Funções. 2. ed. São Paulo: Atual, 1988.
Exercício 65
Considerando que os gráficos abaixo são gráficos de funções, estabeleça o domínio e a imagem: Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 64
(UFPA) Dada a função \( f \) de \( A = \{0, 1, 2\} \) em \( B = \{-2, -1, 0, 1, 2\} \), definida por \( f(x) = x - 1 \), qual o conjunto imagem de \( f \)?
Exercício 63
Sendo \( A = \{1, 2, 3\} \) e \( B = \{3, 4, 5\} \), verifique entre as relações abaixo, quais são \( f: A \to B \) e dê \( D(f) \) e \( \text{Im}(f) \).1) \( R_1 = \{(1, 3), (2, 4), (3, 5)\} \)2) \( R_2 = \{(1, 5), (1, 4), (2, 5)\} \)3) \( R_3 = \{(1, 3), (2, 4)\} \)4) \( R_4 = \{(1, 3), (2, 3), (3, 3)\} \)5) \( R_5 = \{(1, 4), (2, 5), (2, 4)\} \)6) \( R_6 = \{(1, 3), (2, 4), (3, 4)\} \)Fonte: Baccaro, N.; Cyrino, H. Matemática: segundo grau. Volume 1. São Paulo: Ática, 1985.
Exercício 62
Dados \( A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} \), \( B = \{-3, -2, -1, 0, 1\} \) e a relação \( R = \left\{(x, y) \in B \times A \mid y = \frac{-x^2 + 3x - 2}{x - 2}\right\} \):a) Faça a representação sagital;b) Dê os conjuntos \( R \), \( D(R) \) e \( \text{Im}(R) \);c) R é função?Fonte: OLIVEIRA, A. L., MACHADO, A. S., LAUDARES, J. B., ISE, K., FERREIRA, S. F. (1997). Funções – Para Escolas Técnicas Industriais e Centros de Educação Tecnológica. Curitiba. Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná.
Exercício 61
Dados \( A = \{0, 1, 2, 3\} \), \( B = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4\} \) e a relação \( R = \{(x, y) \in A \times B \mid y = 2x - 2\} \):a) Faça a representação sagital;b) Escreva os elementos de \( R \) em forma de conjunto;c) Dê o domínio;d) Dê o conjunto imagem;e) R é função? Por quê?Fonte: OLIVEIRA, A. L., MACHADO, A. S., LAUDARES, J. B., ISE, K., FERREIRA, S. F. (1997). Funções – Para Escolas Técnicas Industriais e Centros de Educação Tecnológica. Curitiba. Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná.
Exercício 60
(GV) Os diagramas abaixo definem as funções \( f \), \( g \) e \( h \) de \( A \) em \( A \), sendo \( A = \{1, 2, 3, 4\} \). Sejam \( M \), \( N \) e \( P \) as imagens das funções \( f \), \( g \) e \( h \) respectivamente. Então \( M' \cup N' \cup P' \), onde \( X' = \text{complementar de } X \text{ em relação a } A \), é o conjunto:
Exercício 59
(CESCEM-SP) Dizemos que uma relação entre dois conjuntos \( A \) e \( B \) é uma função ou aplicação de \( A \) em \( B \) quando todo o elemento de:
Exercício 58
Estabeleça o domínio e a imagem das funções abaixo:Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 57
(FUVEST-SP) O polinômio \( P \) é tal que \( P(x) + x \cdot P(2 - x) = x^2 + 3 \) para todo \( x \) real.a) Determine \( P(0) \), \( P(1) \) e \( P(2) \);b) Demonstre que o grau de \( P \) é 1.
Exercício 56
(ITA-SP) Sejam três funções \( f, u, v: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), tais que: \( f\left(x + \frac{1}{x}\right) = f(x) + \frac{1}{f(x)} \), para todo \( x \) não nulo e \( u^2(x) + v^2(x) = 1 \) para todo \( x \) real.Sabendo-se que \( x_0 \) é um número real tal que: \( u(x_0) \cdot v(x_0) \neq 0 \) e \( f\left(\frac{1}{u(x_0)} \cdot \frac{1}{v(x_0)}\right) = 2 \), o valor de \( f\left(\frac{u(x_0)}{v(x_0)}\right) \) é:
Exercício 55
(ESPM-SP) Seja \( x \) e \( y \) números naturais e \( F(x, y) \) uma função tal que:\( F(x, y) = \begin{cases} y, & \text{se } x = 0 \\ x, & \text{se } y = 0 \\ F(x - 1, y - 1) & \text{se } x > 0 \text{ e } y > 0 \end{cases} \)O valor de \( F(52, 70) \) é:
Exercício 54
(OBMEP) Uma função \( f \) é tal que \( f(1 - x) + 2f(x) = 3x \), para todo \( x \) real. Qual o valor de \( f(0) \)?
Exercício 53
(UNICAMP-SP) Seja \( f(x) \) uma função tal que, para todo número real \( x \), temos \( x \cdot f(x - 1) = (x - 3) \cdot f(x) + 3 \). Então, \( f(1) \) é igual a:
Exercício 52
(ESPM-SP) Uma função \( f \) é definida apenas para números naturais, de modo que \( f(0) = 8 \), \( f(1) = 2 \) e \( f(n) = \frac{f(n-1)}{f(n-2)} \), para \( n > 1 \). O valor de \( f(50) \) é:
Exercício 51
(UEPG-PR) Sendo \( f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z} \) uma função definida por \( f(0) = 1 \), \( f(1) = 0 \) e \( f(n + 1) = 3f(n) - f(n - 1) \), assinale o que for correto.01) \( f(5) < -20 \)02) \( f(2) = -1 \)04) \( f(6) > -60 \)08) \( f(3) = 3 \)16) \( f(4) = -10 \)
Exercício 50
(ESPM-SP) Na função real \( f(x) = ax + b \), com \( a \) e \( b \) reais e \( a \neq 0 \), sabe-se que \( f(x^2 - 1) = 3x^2 - 2 \) para qualquer \( x \) real. Então, podemos afirmar que:
Exercício 49
(MACK-SP) Dada a função \( f(x) = \frac{x}{x - 1} \), a expressão \( f(3x) \), em termos de \( f(x) \), é:
Exercício 48
(FUVEST) Seja \( f \) uma função tal que \( f(x + 3) = x^2 + 1 \) para todo \( x \) real. Então \( f(x) \) é igual a:
Exercício 47
(UNIGRANRIO) Sabe-se que \( f\left(\frac{2}{3}x - 3\right) = x + 1 \). Desta forma, pode-se afirmar que \( f(-1) \) vale:
Exercício 46
(UNICAMP-SP) Suponha que uma função \( f(x) \) satisfaça à propriedade: \( f(x \cdot y) = f(x) + f(y) \)Sabendo que \( f(7) = 2 \) e \( f(17) = 3 \), o valor de \( f(2023) \) é:
Exercício 45
Dado que \( y = 739x \), pergunta-se: se \( x \) aumentar de 50189 para 50190, de quanto aumentará em correspondência, o valor de \( y \)?Fonte: MACHADO, Nilson José. Matemática por assunto: vol. 1. 2. ed. São Paulo: Editora Scipione, 1993
Exercício 44
(UFPI) Sendo \( f \) uma função tal que \( f(x) = f(x + 3) \) para todo real, podemos afirmar que:
Exercício 43
(UFGO) Se \( f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \) é tal que \( f(n + 1) = n - 1 \), então o valor de \( f(n - 1) \) é:
Exercício 42
(CESGRANRIO) A função \( f \) satisfaz a relação \( f(x + 1) = x \cdot f(x) \), \( x > 0 \). Se \( f\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi} \), o valor de \( f\left(\frac{3}{2}\right) \) é:
Exercício 41
(U.E.CE-80) Seja \( F: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \), uma função satisfazendo as seguintes propriedades:I. \( f(0) = 1 \)II. \( f(x + y) = f(x) \cdot f(y) \)III. \( 0 < f(1) < 1 \)\( \forall x, y \in \mathbb{R} \)Então o valor da expressão \( f(0) + f(1) + f(2) + \cdots + f(9) \) é igual a:
Exercício 40
\( R: \text{Se } m = 1, \text{ temos } f(0) \text{ como um real diferente de zero. Se } m \neq 1, f(0) = 0 \) É dada uma função real tal que:1. \( f(x) \cdot f(y) = f(x + y) \)2. \( f(1) = 2 \)3. \( f(\sqrt{2}) = 4 \)O valor de \( f(3 + \sqrt{2}) \) é:
Exercício 39
A função \( f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \) tem a propriedade: \( f(mx) = m \cdot f(x) \), para \( m \in \mathbb{R} \) e \( x \in \mathbb{R} \). Calcule \( f(0) \).Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 38
Dada a função \( f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = x^2 - x - 12 \) determine \( a \) para que \( f(a + 1) = 0 \).Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 37
(FUVEST-SP) As funções \( f \) e \( g \) são dadas por \( f(x) = \frac{3}{5}x - 1 \) e \( g(x) = \frac{4}{3}x + a \). Sabe-se que \( f(0) - g(0) = \frac{1}{3} \). O valor de \( f(3) - 3g\left(\frac{1}{5}\right) \) é:
Exercício 36
Sejam as funções \( f \) e \( g \) definidas respectivamente por:\( g(x) = x - 3 \)\( f(x) = \begin{cases}\frac{x^2 - 9}{x + 3}, & \text{se } x \neq -3 \\m, & \text{se } x = -3\end{cases} \)Determine \( m \) para que \( f(x) = g(x) \), para todo \( x \).Fonte: NETO, Aref Antar; SAMPAIO, José Luiz Pereira; LAPA, Nilton; CAVALLANTTE, Sidney L. Introdução à análise matemática. 2. ed. São Paulo: Blucher, 2020.
Exercício 35
(FEI-SP) Seja \( f \) uma função definida em \( \mathbb{R} \) por \( f(x) = ax^2 + b \); determine \( a \) e \( b \) sabendo que \( f(\sqrt[6]{8}) = -1 \) e que \( f(\sqrt{3}) = 2 \).
Exercício 34
(PUC-SP) Dada a função:\( f(x) = \begin{cases} 3^{-x} - 1, & \text{se } -1 \leq x < 0 \\\operatorname{tg} \frac{x}{2}, & \text{se } 0 \leq x < \pi \\\frac{x}{x^2 - 2}, & \text{se } \pi \leq x \leq 6\end{cases} \)Então \( f(-1) \), \( f\left(\frac{\pi}{2}\right) \) e \( f(4) \) são, respectivamente:
Exercício 33
(IFSUL) Um professor decidiu fazer um teste para avaliar seus alunos. Para conseguir a aprovação, o aluno deveria atingir nota \( N \) igual ou superior a 6. O teste continha 10 questões e, para calcular sua nota na avaliação o aluno poderia escolher uma das três opções de cálculo, sabendo que a nota \( N \) seria calculada em função do número \( x \) de acertos obtidos:I. \( N = \frac{8x^2 + 52x + 80}{10x + 40} \)II. \( N = \frac{2}{10}x^2 - \frac{12}{10}x + 2 \)III. \( N = x \)Considerando que um determinado aluno acertou 5 questões no teste, ele conseguiria a aprovação se optasse por qual opção de cálculo da nota?
Exercício 32
(FGV-SP) A medicina utiliza para o cálculo de dietas baseadas em calorias o chamado Índice de Massa Corporal, o IMC, que é uma medida mais precisa do estado de obesidade do paciente. O IMC é dado pela fórmula \( I = \frac{P}{A^2} \), em que P é o peso da pessoa, dado em kg, e A é a altura medida em metros. Suponha que uma pessoa pese 66 kg e tem altura de 162 cm. O indivíduo que pertence a uma faixa, não pertence a outra. De acordo com a tabela do IMC, ela:
Exercício 31
(IF-PE) Para se calcular o consumo mensal, em KWh, de um aparelho elétrico usa-se a seguinte expressão: \( C = \frac{P \cdot H \cdot D}{1000} \), em que \( C \) é o consumo, em KWh; \( P \), a potência do aparelho em Watt (W); \( H \) é o número de horas de uso por dia e \( D \) é o número de dias de uso por mês. O Prof. Sérgio instalou em seu banheiro um chuveiro elétrico com uma potência de 2500W. A família do professor é composta por cinco pessoas, e cada uma delas toma dois banhos por dia, com uma duração de 10 minutos cada banho. Qual o consumo de energia do chuveiro elétrico após 30 dias?
Exercício 30
Para a função definida por \( f(x) = \sqrt{x} \) verifique que \( \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{1}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}} \). (Assuma que \( x + h \geq 0 \) e \( h \neq 0 \)).Fonte: NETO, Aref Antar; SAMPAIO, José Luiz Pereira; LAPA, Nilton; CAVALLANTTE, Sidney L. Introdução à análise matemática. 2. ed. São Paulo: Blucher, 2020.
Exercício 29
(GV-SP) A população de uma cidade daqui a \( t \) anos é estimada em \( (t) = 30 - \frac{4}{t} \) milhares de pessoas. Durante o 5º ano, o crescimento da população será de:
Exercício 28
(GV-SP) O número de unidades produzidas \( (y) \) de um produto, durante um mês, é função do número de funcionários empregados \( (x) \) de acordo com a relação \( y = 50\sqrt{x} \). Se 49 funcionários estão empregados, podemos afirmar que:
Exercício 27
(EE MAUÁ-SP) Seja \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) a função tal que \( f(x) = x^2 \). Seja \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) a função tal que \( g(x) = \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \). Assim, \( g(x) \) é igual a:
Exercício 26
(UF-BA) Sendo \( f(x) = 100x + 3 \), o valor de \( \frac{f(10^{-8}) - f(10^3)}{10^{-8} - 10^3} \), é:
Exercícios 25
(CESGRANRIO) Seja \( f \) a função definida no intervalo aberto \( ]-1, 1[ \) por \( f(x) = \frac{x}{1 - |x|} \). Então \( f\left(-\frac{1}{2}\right) \) é:
Exercício 24
(PUC-SALVADOR) O valor da expressão \( \frac{x^3 - 6x^2 + 9x}{x^2 - 9} \cdot \frac{x + 3}{x} \), para \( x = 99 \), é:
Exercício 23
(PUC-MG) O valor da expressão \( y = \frac{0{,}25 - x^2}{0{,}5 + x} \) para \( x = -2{,}1 \) é:
Exercício 22
(CESGRANRIO) Seja \( f(x) \) a função que associa, a cada número real \( x \), o menor dos números \( (x + 1) \) e \( (-x + 5) \). Então, o valor máximo de \( f(x) \) é:
Exercício 21
Seja \( f \) a função de \( \mathbb{R} \) em \( \mathbb{R} \) assim definida: \( f(x) = \begin{cases} 1 & \text{se } x \in \mathbb{Q} \\ x + 1 & \text{se } x \notin \mathbb{Q} \end{cases} \). Calcule:a) \( f(3) \);b) \( f\left(-\frac{3}{7}\right) \);c) \( f(\sqrt{2}) \);d) \( f(\sqrt{4}) \);e) \( f(\sqrt{3} - 1) \);f) \( f(0{,}75) \).Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 20
Seja \( P \) o único número natural que é primo e par. Sendo \( f(x) = (0{,}25)^{-x} + x - 1 \), determine o valor de \( f(P) \).Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 19
Seja \( F: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) a função definida por \( f(x) = \frac{2}{x^2 + 1} \). Calcule:a) \( f(-1) \);b) \( f\left(\frac{1}{2}\right) \);c) \( f(\sqrt{2}) \);d) \( f(1 + \sqrt{2}) \).Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática - Tema e Metas: Conjuntos Numéricos e Funções. 2. ed. São Paulo: Atual, 1988.
Exercício 18
(CEFET-PR) Nos conjuntos \( A = \{x \in \mathbb{Z} \mid -1 \leq x \leq 3\} \) e \( B = \{x \in \mathbb{N} \mid y \leq 5\} \), a relação que representa uma função é:
Exercício 17
(U.F.PA) Sejam os conjuntos \( A = \{1, 2\} \) e \( B = \{0, 1, 2\} \). Qual das afirmativas abaixo é verdadeira?
Exercício 16
Resolva os problemas:a) Seja \( f \) uma relação de \( A = \{0, 1, 2\} \) em \( B = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) expressa pela fórmula \( y = x + 3 \), com \( x \in A \) e \( y \in B \). Faça um diagrama e diga se \( f \) é uma função de \( A \) em \( B \).b) Seja \( f \) uma relação de \( A = \{-1, 0, 1, 2\} \) em \( B = \{0, 2, 4, 6, 8\} \) expressa pela fórmula \( y = 2x \). Faça um diagrama e diga se \( f \) é uma função de \( A \) em \( B \).c) Dados \( A = \{-2, -1, 1, 2\} \) e \( B = \{-8, -4, -1, 0, 1, 4, 8\} \), e uma relação \( f \) de \( A \) em \( B \) expressa pela fórmula \( y = x^3 \), com \( x \in A \) e \( y \in B \). Faça o diagrama e verifique se \( f \) é uma função de \( A \) em \( B \).Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 15
Os pontos de coordenadas (3,2), (7,6), (4, 6) e \( (x, 9) \) pertencem ao gráfico de uma função \( f \). O valor de \( x \) não pode ser:Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática na escola do 2º grau. São Paulo: Atual, 1996.
Exercício 14
(Faculdade Cândido Mendes) Das relações abaixo, verifique quais as funções de \( X \) em \( X \), sendo \( X = \{1, 2, 3, 4\} \).1) \( \{(2,3), (1, 4), (3, 1), (4,4)\} \)2) \( \{(3,1), (4, 2), (1, 1)\} \)3) \( \{(3,1), (3, 3)\} \)4) \( \{(3,2), (4, 3)\} \)5) \( \{(1,2), (2, 2), (3, 2), (4,2)\} \)
Exercício 13
(U.F. PE) Dados os conjuntos \( A = \{a, b, c, d\} \) e \( B = \{1, 2, 3, 4, 5\} \), assinale a única alternativa que define uma função de \( A \) em \( B \).
Exercício 12
Seja \( R = \{(x, y) \in (A \times \mathbb{R}) | y = \sqrt{x^2 - 5x + 4}\} \) e \( A = \{-2, -1, 0, 1, 2\} \). Verifique se \( R \) é função. Justifique.Fonte: OLIVEIRA, A. L., MACHADO, A. S., LAUDARES, J. B., ISE, K., FERREIRA, S. F. (1997). Funções – Para Escolas Técnicas Industriais e Centros de Educação Tecnológica. Curitiba. Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná.
Exercício 11
Dados \( A = \{1, 3, 5\} \) e \( B = \{2, 4, 6, 8\} \), verifique se as relações de \( A \) em \( B \) são funções:a) \( R = \{(1, 2), (3, 6)\} \)b) \( R = \{(1, 2), (3, 4), (5, 6)\} \)c) \( R = \{(1, 4), (3, 2), (3, 4), (5, 8)\} \)d) \( R = \{(3, 4), (3, 6), (5, 6)\} \)e) \( R = \{(1, 2), (3, 2), (5, 2)\} \)Fonte: OLIVEIRA, A. L., MACHADO, A. S., LAUDARES, J. B., ISE, K., FERREIRA, S. F. (1997). Funções – Para Escolas Técnicas Industriais e Centros de Educação Tecnológica. Curitiba. Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná.
Exercício 10
\( D = \{1, 2, 3\} \) e \( A = \{0, 1, 2, 3, 4\} \), verifique se a relação que associa a cada elemento de \( D \):a) O seu antecessor em \( A \) é uma função;b) O seu dobro em \( A \) é uma função.MUNHOZ, Aida F. da Silva; IKIEZAKI, Iracema Mori. Elementos de Matemática. São Paulo: FTD, 1997.
Exercício 7
(PUC-SP) Os conjuntos \( A \) e \( B \) possuem, respectivamente, 3 e 4 elementos. Quantas funções de \( A \) em \( B \) tem o conjunto imagem igual à \( B \)?
Exercício 9
(UFRGS) Dentre os conjuntos de pontos do plano cartesiano apresentados abaixo, quais os que não podem representar gráficos de uma função?
Exercício 8
(U. F. MG) Das figuras abaixo, a única que representa o gráfico de uma função real \( y = f(x) \), \( x \in [a, b] \), é:
Exercício 6
(U. FORTALEZA) Sobre o gráfico a seguir:
Exercício 5
(CESGRANRIO) Seja \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) uma função. O conjunto dos pontos de intersecção do gráfico de 𝑓 com uma reta vertical:
Exercício 4
Verifique se o gráfico dado representa uma função de \( A = [-1, 5] \) em \( B = [1, 6] \).MUNHOZ, Aida F. da Silva; IKIEZAKI, Iracema Mori. Elementos de Matemática. São Paulo: FTD, 1997.
Exercício 3
Diga se cada gráfico a seguir representa ou não uma função.Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 2
Observe os diagramas a seguir, que representam relações de 𝐴 em 𝐵. Assinale a alternativa que contém os diagramas que não são funções.
Exercício 1
Estabeleça se cada um dos esquemas das relações abaixo, define ou não uma função de \( A = \{-1, 0, 1, 2\} \) em \( B = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\} \). Justifique.Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 60
Dado o conjunto \( A = \{1, 3, 8\} \) e as relações sobre \( A \), listadas a seguir, indique qual alternativa mostra uma relação antissimétrica. Apresentar razões segundo as quais as outras relações não são antissimétricas.Fonte: MORAIS, Daiane A. M., TOFFOLI, Sônia F. L., SODRÉ, Ulysses, Exercícios de Relações Matemáticas.
Exercício 59
Qual das relações abaixo é uma relação transitiva?Fonte: MORAIS, Daiane A. M., TOFFOLI, Sônia F. L., SODRÉ, Ulysses, Exercícios de Relações Matemáticas.
Exercício 58
A relação \( R = \{(1, 3), (3, 3), (2, 4), (3, 1), (2, 3), (3, 2)\} \) definida sobre \( A = \{1, 2, 3, 4, 5\} \) é simétrica?Fonte: MORAIS, Daiane A. M., TOFFOLI, Sônia F. L., SODRÉ, Ulysses, Exercícios de Relações Matemáticas.
Exercício 57
Dadas as relações definidas sobre \( C = \{1, 3, 5\} \), qual das alternativas mostra uma relação simétrica?Fonte: MORAIS, Daiane A. M., TOFFOLI, Sônia F. L., SODRÉ, Ulysses, Exercícios de Relações Matemáticas.
Exercício 56
Seja \( A = \{1, 3, 8\} \) e as relações abaixo definidas sobre \( A \). Em qual alternativa aparece a ocorrência da propriedade reflexiva?Fonte: MORAIS, Daiane A. M., TOFFOLI, Sônia F. L., SODRÉ, Ulysses, Exercícios de Relações Matemáticas.
Exercício 55
(UNICAP) Dada a relação binária em \( \mathbb{N} \) (conjunto dos números naturais), \( R = \{(x, y) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} | x + y = 10\} \), assinale, entre as alternativas abaixo, a única correta.
Exercício 54
Seja a relação \( R = \{(x, y) \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{N}^* : 2x + y = 8\} \). A relação inversa denotada por \( R^{-1} \) está indicada em qual das alternativas?Fonte: MORAIS, Daiane A. M., TOFFOLI, Sônia F. L., SODRÉ, Ulysses, Exercícios de Relações Matemáticas.
Exercício 53
(U. F. UBERLÂNDIA) Considerando a relação:\( R = \{(a, b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} : a + 2b = 6\} \),Então, o domínio e a imagem de \( R^{-1} \) são, respectivamente:Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 52
Dados os conjuntos \( A = \{x \in \mathbb{R} | 1 \leq x \leq 6\} \) em \( B = \{y \in \mathbb{R} | 2 \leq y \leq 10\} \) e a seguinte relação binária: \( R = \{(x, y) \in A \times B | y = x + 2\} \). Construa o gráfico cartesiano e dê o domínio e imagem de \( R \) e \( R^{-1} \). Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 51
Enumere os elementos e esboce os gráficos de \( R \) e \( R^{-1} \), relações binárias em \( A = \{x \in \mathbb{N} | x \leq 10\} \), no seguinte caso:\( S = \{(x, y) \in A^2 | y = (x - 3)^2 + 1\} \) Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 50
Seja \( R \) uma relação de \( E \) em \( F \), sendo \( E = \{3, 6, 10, 11\} \) e \( F = \{2, 3, 4, 5\} \), definida por \( x \text{ é o dobro de } y \):a) Quais os elementos de \( R \)?b) Quais os elementos de \( R^{-1} \)?c) Determine: \( D(R) \), \( \text{Im}(R) \), \( D(R^{-1}) \) e \( \text{Im}(R^{-1}) \).Fonte: BACCARO, Nelson; CYRINO, Hélio. Matemática - Segundo Grau. São Paulo: Atual Editora, 1992.
Exercício 49
(PUC-RS) Seja \( R \) a relação de \( A = \{x \in \mathbb{Z} | -3 \leq x \leq 5\} \) em \( B = \{x \in \mathbb{Z} | -2 \leq x < 4\} \), definida por \( x^2 = (y - 1)^2 \), com \( x \in A \) e \( y \in B \). O conjunto imagem de \( R \) é:
Exercício 48
(UEM-PR) O proprietário de um posto de combustíveis, para atrair clientes, divulgou a seguinte promoção: "Abasteça seu carro, com 20 litros ou mais de combustível, e obtenha descontos de 60% a 100% na lavagem completa de seu veículo, se, após jogar duas vezes um dado, numerado de 1 a 6, a soma dos números obtidos na face superior, em cada jogada, resultar em um número maior ou igual a 8."Considere:- \( A \) o conjunto de todos os resultados possíveis no lançamento de um dado;- \( (x, y) \) o par ordenado que representa os resultados obtidos nas duas jogadas, sendo \( x \) o número obtido na 1ª jogada e \( y \) o número obtido na 2ª jogada;- \( R \) a relação que traduz a situação: "O cliente conseguirá algum desconto na lavagem de seu veículo"Nessas condições, é correto afirmar que:01. \( A = \{x \in \mathbb{N} | 1 \leq x \leq 6\} \);02. \( A^2 \) tem 12 elementos;04. \( R = \{(x, y) \in A^2 | x + y \geq 8\} \)08. \( \text{Dom}(R) = A \)16. \( \text{Im}(R) = A \)
Exercício 47
Se \( R \) é a relação binária de \( A = \{x \in \mathbb{R} | 1 \leq x \leq 6\} \) em \( B = \{y \in \mathbb{R} | 1 \leq y \leq 4\} \), definida por \( x \, R \, y \Leftrightarrow x = 2y \) forneça:a) A representação cartesiana de \( A \times B \);b) A representação cartesiana de \( R \);c) O domínio e a imagem de \( R \). Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 46
Sejam \( A = \{x \in \mathbb{N} | x \leq 3\} \) e \( B = \{y \in \mathbb{N} | 1 \leq y \leq 5\} \).a) Determine a relação \( R \) de \( A \) em \( B \) definida por \( y = x + 1 \), dando o domínio e a imagem da relação;b) Represente por meio de diagramas e do plano cartesiano a relação \( R \) obtida no item anterior.Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 45
Dados \( M = \{0, 1, 2, 3\} \) e \( N = \{-1, 0, 1, 12, 13, 35\} \), encontre:a) \( R = \{(x, y) \in M \times N | y = x^3 + x^2 - 1\} \)b) \( D(R) \) e \( \text{Im}(R) \)Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 44
Seja \( \mathbb{N}^* = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, \ldots\} \) o conjunto dos números naturais, excluindo-se o zero.I) Qual item representa o domínio da relação \( R = \{(x, y) \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{N}^* | 2x + y = 8\} \)?a) \( \{8\} \)b) \( \mathbb{N}^* \)c) \( \{1, 2, 3\} \)d) \( \{2, 4, 6\} \)II) Dentre as alternativas, qual delas representa o contradomínio da relação \( R = \{(x, y) \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{N}^* | 2x + y = 8\} \)?a) \( \{1, 3, 5, 7\} \)b) \( \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \)c) \( \{0, 2, 4, 6\} \)d) \( \mathbb{N}^* \)III) Qual alternativa representa a imagem da relação \( R = \{(x, y) \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{N}^* | 2x + y = 8\} \)?a) \( \{1, 3, 5, 7\} \)b) \( \{2, 4, 6\} \)c) \( \emptyset \)d) \( \mathbb{N}^* \)Fonte: MORAIS, Daiane A. M., TOFFOLI, Sônia F. L., SODRÉ, Ulysses, Exercícios de Relações Matemáticas.
Exercício 43
Das relações binárias de \( A = \{-2, -1, 0, 1, 2\} \) em \( B = \{-3, -2, -1, 1, 2, 3, 4\} \) definidas por:a) \( x \, R \, y \Leftrightarrow x^2 = y \)b) \( x \, S \, y \Leftrightarrow |x| = |y| \)c) \( x \, T \, y \Leftrightarrow x + y > 2 \)d) \( x \, V \, y \Leftrightarrow (x - y)^2 = 1 \)I) Enumere pares ordenados;II) Represente por meio de flechas;III) Faça o gráfico cartesiano;IV) Encontre o domínio e a imagem.a) b)c) d)
Exercício 42
(F. SANTANA) Seja a relação \( R \), de \( A \) em \( A \), definida por:\( (x, y) \in R \Leftrightarrow \begin{cases} y = \sqrt{x}, & \text{se } x \text{ é par} \\ y = x + 1, & \text{se } x \text{ é ímpar} \end{cases} \)Se \( A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \), o número de pontos do gráfico cartesiano de \( R \) é:
Exercício 41
Faça o gráfico de cada relação de \( \mathbb{R} \) em \( \mathbb{R} \):a) \( A = \{(x, y) | x + 1 > 0 \text{ e } y < 3\} \)b) \( B = \{(x, y) | -1 \leq x \leq 1 \text{ e } y \geq 1\} \)
Exercício 40
Represente graficamente:a) \( \{(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} : 2x - 8 \leq 0 \text{ e } -2 \leq y \leq 0\} \)b) \( \{(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} : x \leq 0 \text{ e } y \leq 0\} \)
Exercício 39
Se \( R = \{(x, y) \in \mathbb{N}^2 | x + y = 10\} \) e \( S = \{(x, y) \in \mathbb{N}^2 | x - y = 2\} \), determine \( R \cap S \).
Exercício 38
Quantos pares pertencem à relação \( R = \{(x, y) \in \mathbb{Z}^2 | x^2 + y^2 = 25\} \)?
Exercício 37
(UEL-PR) Sejam os conjuntos \( A = \{0, 1, 2, 3, 4\} \) e \( B = \{2, 8, 9\} \) e a relação \( R \) de \( A \) em \( B \) definida por \( R = \{(x, y) \in A \times B | x \text{ é divisor de } y\} \). Nessas condições, \( R \) é o conjunto:
Exercício 36
Seja \( A = \{1, 2, 3, 5, 7\} \). Analisar o gráfico cartesiano da relação \( R \in A \times A \). Qual das alternativas abaixo é verdadeira?
Exercício 35
Dados os conjuntos \( A = \{a, b, c\} \) e \( B = \{1, 2, 3, 4\} \), podemos construir a relação \( R \) em \( A \times B \) que está apresentada no gráfico. Qual resposta mostra a relação \( R \) de forma explícita?Fonte: https://edumat.ouropreto.ifmg.edu.br/
Exercício 34
(U. F. PA) Dados os conjuntos \( A = \{a, b, c\} \) e \( B = \{a, b\} \), quais dos conjuntos abaixo é uma relação de \( A \) em \( B \)?
Exercício 33
(FUVEST-SP) Se \( (m + 2n, m - 4) \) e \( (2 - m, 2n) \) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então \( mn \) é igual a:
Exercício 32
Determine \( a \) e \( b \) de modo que se verifique a igualdade: \( (a^2 + a, 4b^2 - 1) = (2, 7) \).Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 31
Se \( a \in \mathbb{Z} \) e \( b \in \mathbb{Z} \), determine \( a \) e \( b \) para que se tenha:a) \( (2a + b, 5a - 3b) = (3, 2) \)b) \( (a + 2b, 17) = (6, a + b) \)Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 30
(U. F. BA) Sendo \( F = \mathbb{R} \times \mathbb{Z} \) e \( G = \mathbb{R}_-^* \times \mathbb{N}^* \), a representação gráfica de \( F - G \) é:
Exercício 29
(UFPE) Assinale a única alternativa abaixo que representa o gráfico do conjunto \( B \times A \) onde \( A = \{1, 2, 3\} \) e \( B = \{x \in \mathbb{R} | 1 \leq x \leq 2\} \).
Exercício 28
Dados os conjuntos \( A = \{1, 2, 3, 4\} \) e \( B = \{a \in \mathbb{R} | 1 \leq a \leq 4\} \), represente graficamente os conjuntos:a) \( A \times B \)b) \( B \times A \)c) \( (A \times B) \cup (B \times A) \)
Exercício 27
(UEFS) Sendo \( A = \{1, 3\} \) e \( B = [-2, 2] \), o gráfico cartesiano de \( A \times B \) é representado por:
Exercício 26
(U. F. RN) Se \( n(A) = 3 \) e \( n(B) = 2 \), então \( (n(A \times B))^{n(A \cap B)} \) é no máximo igual a:
Exercício 25
(Sta. Casa – SP) Sejam \( A \) e \( B \) conjuntos não vazios. Se \( A \times B \) tem 12 elementos, então \( A \cup B \) pode ter, no máximo:
Exercício 24
(UF-MT) Sejam os conjuntos \( A \) e \( B \) tais que:\( A \times B = \{(-1, 0), (2, 0), (-1, 2), (2, 2), (-1, 3), (2, 3)\} \)O número de elementos do conjunto \( A \cap B \) é:
Exercício 18
(PUC-SP) Os pares ordenados \( (2, 3) \), \( (3, 3) \) e \( (1, 4) \) são elementos do conjunto \( A \times B \). Então:
Exercício 17
(U. F. Uberlândia) Dados os conjuntos \( A = \{0, -1, 1\} \) e \( B = \{1, 3, 4\} \) e \( C = \{0, 1\} \), temos \( (A - B) \times (C - B) \) igual a:
Exercício 16
Sejam os conjuntos \( A \), \( B \) e \( C \) tais que \( A \subset B \subset C \). Estabeleça as relações de inclusão entre os conjuntos \( A \times A \), \( A \times B \), \( A \times C \), \( B \times A \), \( B \times B \), \( B \times C \), \( C \times A \), \( C \times B \) e \( C \times C \).Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 15
Dados \( A = \{0, 1, 2\} \), \( B = \{1, 2, 3\} \) e \( E = \{4, 5, 6\} \), determine:a) \( (A \cap B) \times E \)b) \( (B \cap E) \times A \)c) \( (A \cup B) \times B \)d) \( (E \cap A) \times (B - A) \)Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 14
Determine \( A \times B \) e \( B \times A \) nos casos:a) \( A = \{1, 2, 3, 4, 5\} \) e \( B = \{9\} \)b) \( A = \{-1, 1\} \) e \( B = \{-1, 0, 1\} \)c) \( A = \{7\} \) e \( B = \{5\} \)d) \( A = \{3, 6, 9\} \) e \( B = \emptyset \)Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática - Tema e Metas: Conjuntos Numéricos e Funções. 2. ed. São Paulo: Atual, 1988.
Exercício 13
Represente graficamente o conjunto \( \{(x, y) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} | 2 \leq x \leq 5 \text{ e } 1 \leq y \leq 3\} \).Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática - Tema e Metas: Conjuntos Numéricos e Funções. 2. ed. São Paulo: Atual, 1988.
Exercício 12
Dados os conjuntos \( A = \{x \in \mathbb{N} | x \leq 3\} \) e \( B = \{x \in \mathbb{Z} | -1 \leq x \leq 1\} \), determine:a) \( A \times B \)b) \( B \times A \)c) \( A^2 \)d) \( B^2 \)Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 11
Marque os pontos \( A(0, 0) \), \( B(3, 0) \), \( C(3, 3) \) e \( D(0, 3) \) num sistema cartesiano ortogonal e calcule a área da figura formada pela união desses quatro pontos.Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 10
Na figura seguinte, quais são as coordenadas do ponto \( P \)?Dados: \( \sin 30° = \frac{1}{2} \), \( \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} \)Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 9
Dados os pontos \( A(1, 2) \), \( B(10, 2) \), \( C(10, 6) \), \( D(6, 9) \), \( E(2, 6) \) e \( F(1, 6) \):a) Ache a área da figura \( ABCDEFA \);b) Calcule o perímetro da figura do item anterior.Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 8
Dadas duas retas concorrentes no ponto \( T \), determine as coordenadas cartesianas:a) Do ponto \( T \);b) Do ponto \( A \), o que corresponde à intersecção da reta com o eixo \( \overrightarrow{OX} \);c) Do ponto \( B \), o que corresponde à intersecção da reta com o eixo \( \overrightarrow{OY} \);Fonte: https://edumat.ouropreto.ifmg.edu.br/
Exercício 7
Dados três pontos \( a \), \( b \) e \( c \) em uma reta, como indica a figura seguinte, determine o ponto \( x \) da reta, tal que a soma das distâncias de \( x \) até \( a \), de \( x \) até \( b \) e de \( x \) até \( c \) seja a menor possível. Explique seu raciocínio.Fonte: https://edumat.ouropreto.ifmg.edu.br/
Exercício 6
Três pontos de coordenadas, respectivamente, \( (0, 0) \), \( (1, 2) \), \( (5, 0) \), são vértices de um retângulo. Quais são as coordenadas do quarto vértice?Fonte: https://edumat.ouropreto.ifmg.edu.br/
Exercício 5
Localize, num plano cartesiano, todos os pares ordenados com coordenadas no conjunto dos Naturais, cuja soma dos elementos resulta em 3.Fonte: https://edumat.ouropreto.ifmg.edu.br/
Exercício 4
(U.F.MG) Sejam \( P = (a, b) \) e \( Q = (c, -2) \), dois pontos no plano cartesiano tais que \( a \cdot c < 0 \), \( b < 0 \) e \( c > 0 \). Pode-se afirmar que:
Exercício 3
Considere os pontos \( A \), \( B \), \( C \), \( D \), \( E \) e \( F \).a) Quais são as coordenadas desses pontos?b) Qual é o ponto de menor abcissa? E o de maior?c) Quais deles têm abcissa negativa?Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 2
Assinale no plano cartesiano os pontos: \( A(2, -3) \), \( B(0, -4) \), \( C(-4, -5) \), \( D(-1, 0) \), \( E(0, 5) \), \( F(5, 4) \), \( G(3, 0) \), \( H(-3, 2) \), \( I\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right) \).Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 1
Dê as coordenadas de cada ponto do plano cartesiano a seguir: Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 37
Resolva as inequações em \( \mathbb{R} \):a) \( |x|^2 - 8|x| + 15 \geq 0 \)b) \( |x|^2 - 11|x| + 30 \leq 0 \)Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática - Tema e Metas: Conjuntos Numéricos e Funções. 2. ed. São Paulo: Atual, 1988.
Exercício 36
(FUVEST-SP) Sendo \( x \) um número real, \( (1 + x)(1 - |x|) \geq 0 \) se e somente se:
Exercício 35
(FUVEST-SP) Resolva a inequação \( x \cdot |x| > x \).
Exercício 34
(CESGRANRIO-RJ) O conjunto solução da desigualdade \( |x + 1| - |x| \leq x + 2 \) é:
Exercício 33
Resolva a seguinte inequação, em \( \mathbb{R} \):\( 3(|x + 1| - |x - 1|) \leq 2x^2 - 4x \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 32
Resolva a seguinte inequação, em \( \mathbb{R} \): \( |3x + 2| - |2x - 1| > x + 1 \) Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 31
Resolva a inequação seguinte, em \( \mathbb{R} \):\( ||2x - 1| - 4| \leq 3 \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 30
Resolva a inequação seguinte, em \( \mathbb{R} \):\( ||x| - 2| > 1 \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 29
Resolva a inequação \( \left|\frac{12}{x} + 1\right| > x \).Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 28
(MACK-SP) O conjunto solução de \( |x - 3| < x + 3 \) é:
Exercício 27
Determine o conjunto de todos os \( x \) para os quais \( |x^2 - 4x + 6| < -x^2 + 4x \).Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 26
\( x \leq |x| \) é verdadeira, se, e somente se,
Exercício 25
Resolva as inequações, em \( \mathbb{R} \):a) \( 5x + |2x - 1| > 13 \)b) \( |x^2 - 4| < 3x \)Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática - Tema e Metas: Conjuntos Numéricos e Funções. 2. ed. São Paulo: Atual, 1988.
Exercício 24
(FEI-SP) Resolver a desigualdade (em \( \mathbb{R} \)):\( \frac{5}{2|m|} + \frac{1}{7|m|} < 1 \)
Exercício 23
Seja a equação \( \left| 2 - \frac{1}{x} \right| \leq 5 \). Quantas de suas soluções são números inteiros positivos e menores que 30?Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 22
Resolva a inequação seguinte em \( \mathbb{R} \):\( \left| \frac{2x - 3}{3x - 1} \right| > 2 \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 21
Resolva a inequação seguinte em \( \mathbb{R} \):\( \left| \frac{x + 1}{2x - 1} \right| \leq 2 \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 20
(MACK-SP) O elemento solução de \( 1 < |x - 3| < 4 \) é o conjunto dos números \( x \), tais que:
Exercício 19
Quais os números inteiros que satisfazem a sentença \( 3 \leq |2x - 3| < 6 \)?Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 18
Resolva as inequações modulares em \( \mathbb{R} \):a) \( 1 < |x| < 4 \)b) \( 2 < |x + 2| < 6 \)Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 17
Se \( |x^2 - 4| < N \) para todo \( x \) real, tal que \( |x - 2| < 1 \), qual é o menor valor possível para \( N \)?Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 16
(ENEM-2020) Uma casa de dois andares está sendo projetada. É necessário incluir no projeto a construção de uma escada para o acesso ao segundo andar. Para o cálculo das dimensões dos degraus utilizam-se as regras:\( |2h + b - 63,5| \leq 1,5 \) e \( 16 \leq h \leq 19 \)Nas quais \( h \) é a altura do degrau (denominada espelho) e \( b \) é a profundidade da pisada, como mostra a figura. Por conveniência, escolheu-se a altura do degrau como sendo \( h = 16 \). As unidades de \( h \) e \( b \) estão em centímetro. Nesse caso, o mais amplo intervalo numérico ao qual a profundidade da pisada \( (b) \) deve pertencer, para que as regras sejam satisfeitas é:
Exercício 15
Resolva as inequações em \( \mathbb{R} \):a) \( \left| \frac{x-1}{3} \right| < 6 \)b) \( |x^2 - 4x| < 5 \)c) \( |x^2 - 4| > 3 \)Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática na escola do 2º grau. São Paulo: Atual, 1996.
Exercício 14
Resolva as inequações seguintes, em \( \mathbb{R} \):a) \( |x^2 - 5x + 5| < 1 \)b) \( |x^2 - 5x| \geq 6 \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993
Exercício 13
(F. CARLOS CHAGAS-SP) Se \( A = \{ x \mid x \in \mathbb{R}, x^2 - 3x + 2 \leq 0 \} \) e \( B = \{ x \mid x \in \mathbb{R}, |x - 1| > 1 \} \), então:
Exercício 12
Dados \( A = \{ x \in \mathbb{R} \mid |x - 1| > 2 \} \) e \( B = \{ x \in \mathbb{R} \mid |2x - 4| < 6 \} \), determine:a) \( A \cap B \)b) \( A \cup B \)c) \( A - B \)d) \( B - A \)Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática na escola do 2º grau. São Paulo: Atual, 1996.
Exercício 11
(UFPR) Considere os conjuntos \( A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 4 = 0 \} \) e \( B = \{ x \in \mathbb{Z} \mid |x - 4| \leq 2 \} \), onde \( \mathbb{R} \) representa o conjunto dos números reais e \( \mathbb{Z} \) o conjunto dos números inteiros. Então, é correto afirmar que: (some o valor das alternativas para a resposta)01) O conjunto \( A \times B \) tem exatamente 4 elementos.02) \( A \cap B = \emptyset \).04) O conjunto \( A \cup B \) tem exatamente 6 elementos.08) \( 2 \in A \)16) \( A \subset (A \cup B) \)32) \( A \subset \mathbb{Z} \)
Exercício 10
(CESGRANRIO-RJ) A intersecção dos conjuntos \( A = \{ x \in \mathbb{R} \mid |x - 2| < 4 \} \) e \( B = \{ x \in \mathbb{R} \mid |x - 7| < 2 \} \) é um intervalo de comprimento:
Exercício 9
(UECE) Dados os conjuntos 𝐴 = {𝑥 ∈ ℤ||𝑥 − 5| < 3} e 𝐵 = {𝑥 ∈ ℤ||𝑥 − 4| ≥ 1}, a soma dos elementos de 𝐴 ∩ 𝐵 é igual a:
Exercício 8
Determine \( x \) real de modo que se tenha:a) \( |x| \geq 3 \)b) \( |x| \leq -2 \)c) \( \left|\frac{x}{3} - 2\right| \leq 1 \)d) \( -2|x + 3| + 4 < 0 \)MUNHOZ, Aida F. da Silva; IKIEZAKI, Iracema Mori. Elementos de Matemática. São Paulo: FTD, 1997.
Exercício 7
(PUC-RS) Assina a única alternativa correta. Dentre as proposições:I) \( (\forall x \in \mathbb{R}) (x^2 \geq x) \)II) \( (\exists x \in \mathbb{R}) (x^2 = x) \)III) \( (\forall x \in \mathbb{R}) (|x| < 0) \)IV) \( (\exists x \in \mathbb{R}) (x^2 = 0) \)As falsas são:
Exercício 6
(UEL-PR) Quaisquer que sejam os números reais \( x \) e \( y \):
Exercício 5
Prove que \( |x| > a \Longleftrightarrow (x > a \text{ ou } x < -a) \), onde \( a > 0 \).Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática - Tema e Metas: Conjuntos Numéricos e Funções. 2. ed.São Paulo: Atual, 1988.
Exercício 4
Prove que \( |x| < a \Longleftrightarrow -a < x < a \), onde \( a > 0 \).Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática - Tema e Metas: Conjuntos Numéricos e Funções. 2. ed.São Paulo: Atual, 1988.
Exercício 3
Prove que \( |a + b| \leq |a| + |b| \), \( \forall a \in \mathbb{R} \) e \( \forall b \in \mathbb{R} \).Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática - Tema e Metas: Conjuntos Numéricos e Funções. 2. ed.São Paulo: Atual, 1988.
Exercício 2
Utilizando as propriedades do módulo de um número real, prove que:a) \( |x|^2 = x^2 \), \( \forall x \in \mathbb{R} \);b) \( |x - y| \geq |x| - |y| \), \( \forall x \in \mathbb{R} \) e \( \forall y \in \mathbb{R} \)Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática - Tema e Metas: Conjuntos Numéricos e Funções. 2. ed.São Paulo: Atual, 1988.
Exercício 1
Aqui está o exercício formatado em LaTeX/MathJax:**a) Determine os valores de \( x \) tais que:**\( |x| = 3 \)\( |x| < 3 \)\( |x| > 3 \)\( |x| \geq 3 \)\( |x| \leq 3 \)Fonte: MACHADO, Nilson José. Matemática por assunto: vol. 1. 2. ed. São Paulo: Editora Scipione, 1993**b) Represente os conjuntos na reta:**\( A = \{x \in \mathbb{R} \mid |x| = 2\} \)\( B = \{x \in \mathbb{R} \mid |x| < 2\} \)\( C = \{x \in \mathbb{R} \mid |x| > 2\} \)
Exercício 42
(PUC-SP) O conjunto \( A = \left\{x \mid x = \frac{|n|}{n}, \text{ onde } n \in \mathbb{Z}^*\right\} \) é:
Exercício 41
Resolva a equação \( ||x - 2| - 7| = 6 \)Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 40
Determinar o conjunto solução da equação \( x \cdot |x| - x = 6 \).Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 39
Qual é o conjunto solução, em \( \mathbb{R} \), da equação \( \frac{|x|}{x} = \frac{|x - 1|}{x - 1} \)?Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 38
Calcule \( x \), sabendo que ele é dado pela expressão \( x = |\sqrt{2 + x}| \).Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 37
(COMBITEC – SP) A equação \( |x + 1| - |x| = 2x + 1 \), \( x \in \mathbb{R} \)
Exercício 36
(FEI-SP) Resolva a equação \( |x - 1| + |x + 2| = 3 \)
Exercício 35
(FGV) A soma das raízes da equação \( \sqrt{x^2} + \sqrt{(x - 1)^2} = 2 \) é:
Exercício 34
(FCESP) Se \( x \in (-\infty, 0) \), então a expressão \( \sqrt{(x - 3)^2} + \sqrt{x^2} - \sqrt{(4 - 3x)^2} \)
Exercício 33
Calcule:a) \( |x - 3| + |x - 1| \), com \( x > 3 \)b) \( |x - 4| - |x - 6| \), com \( x < 4 \)Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 32
(Sta Casa – SP) A soma e o produto das raízes da equação \( |x|^2 - 2|x| - 8 = 0 \) são respectivamente:
Exercício 31
(ITA-SP) Sabendo-se que as soluções da equação \( |x|^2 - |x| - 6 = 0 \) são raízes da equação \( x^2 - ax + b = 0 \), podemos afirmar que:
Exercício 30
Determine o conjunto solução da equação \( |x - 1|^2 - 3|x - 1| + 2 = 0 \).Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 29
Ache o conjunto verdade das equações:a) \( |x|^2 - |x| - 20 = 0 \)b) \( |x|^2 - 7|x| + 6 = 0 \)Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 28
Resolva as equações em \( \mathbb{R} \):a) \( 2|x|^2 + 7|x| - 4 = 0 \)b) \( 4|x|^2 + 9|x| + 2 = 0 \)MUNHOZ, Aida F. da Silva; IKIEZAKI, Iracema Mori. Elementos de Matemática. São Paulo: FTD, 1997
Exercício 27
(ITA-SP) O produto das raízes reais da equação \( |x^2 - 3x + 2| = |2x - 3| \) é igual a:
Exercício 26
(CESGRANRIO) A soma das soluções reais de \( |x + 2| = 2|x - 2| \) é:
Exercício 25
(OSEC) Para \( x \in \mathbb{R} \), determinando-se o conjunto solução da equação \( |x + 5| = |2x - 11| \), verifica-se que:
Exercício 24
Resolva, em \( \mathbb{R} \), as seguintes equações:a) \( |4x - 1| - |2x + 3| = 0 \)b) \( |x^2 + 2x - 2| = |x^2 - x - 1| \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 23
Sabendo que \( |a| = |b| \Leftrightarrow (a = b \text{ ou } a = -b) \), resolva as equações:a) \( |3x - 8| = \left|\frac{x}{2}\right| \)b) \( |x^2 - 3x + 1| = |2x^2 - 3| \)Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática na escola do 2º grau. São Paulo: Atual, 1996.
Exercício 22
(PUC-MG) O produto das raízes da equação \( |2x + 3| = 1 - x \) é:
Exercício 21
(ITA-SP) Considere a equação \( |x| = x - 6 \). Com respeito à solução real dessa equação, podemos afirmar que:
Exercício 20
Resolva as equações:a) \( x^2 - 3|x| - 4 = 0 \)b) \( x^2 + |x - 2| = 0 \)Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática na escola do 2º grau. São Paulo: Atual, 1996.
Exercício 19
Resolva as seguintes equações, em \( \mathbb{R} \):a) \( |2x - 5| = x - 1 \)b) \( |2x^2 + 15x - 3| = x^2 + 2x - 3 \)c) \( |3x - 2| = 3x - 2 \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 18
Resolva as equações:a) \( |x - 2| = 3x - 12 \)b) \( \left|\frac{2x - 1}{3}\right| = 4x \)c) \( |x^2 - 5x| = -6 \)MUNHOZ, Aida F. da Silva; IKIEZAKI, Iracema Mori. Elementos de Matemática. São Paulo: FTD, 1997
Exercício 17
Resolva as equações:a) \( |1 - x^2| = 3 \)b) \( |x^2 - x - 1| = 1 \)Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática - Tema e Metas: Conjuntos Numéricos e Funções. 2. ed. São Paulo: Atual, 1988.
Exercício 16
(FURG) O produto de todas as raízes da equação \( |x^2 - 8| - 6 = 0 \) é:
Exercício 15
Resolva as equações:a) \( \left|\frac{2x + 1}{4}\right| = \frac{5}{6} \)b) \( |2x^2 - 3x + 1| = 1 \)Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 14
Resolva as equações em \( \mathbb{R} \):a) \( \left|\frac{x - 1}{2} + \frac{1}{4}\right| = 1 \)b) \( |x \cdot (x + 1)| = 0 \)Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática - Tema e Metas: Conjuntos Numéricos e Funções. 2. ed. São Paulo: Atual, 1988.
Exercício 13
Resolva as equações em \( \mathbb{R} \):a) \( |x| = 3 \)b) \( |3x - 1| = 1 \)c) \( |2 - 4x| = 10 \)Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática - Tema e Metas: Conjuntos Numéricos e Funções. 2. ed. São Paulo: Atual, 1988.
Exercício 12
(FATEC-SP) Sejam \( x \) e \( y \) números reais não-nulos. Assinale a sentença verdadeira.
Exercício 11
(UF-Uberlândia) Sejam, \( x \), \( y \) e \( z \) números reais quaisquer. A sentença verdadeira é:
Exercício 10
(FUVEST-SP) Prove que, se \( x^2 + y^2 + x^2y^2 = (xy + 1)^2 \), então \( |x - y| = 1 \).
Exercício 9
Prove que \( \sqrt{a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}} = \left|a + \frac{1}{a}\right| \), \( \forall a \in \mathbb{R}^* \).Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática - Tema e Metas: Conjuntos Numéricos e Funções. 2. ed. São Paulo: Atual, 1988.
Exercício 8
Simplifique:a) \( \sqrt{4a^2} \)b) \( \sqrt{a^2 - 2a + 1} \)Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática - Tema e Metas: Conjuntos Numéricos e Funções. 2. ed. São Paulo: Atual, 1988.
Exercício 7
Sendo \( a \) um real não-negativo, definimos: \( \sqrt{a} = b \Leftrightarrow (b \geq 0 \text{ e } b^2 = a) \). Prove que \( \sqrt{x^2} = |x| \), \( \forall x \in \mathbb{R} \).Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática - Tema e Metas: Conjuntos Numéricos e Funções. 2. ed. São Paulo: Atual, 1988.
Exercício 6
Dados dois números reais \( a \) e \( b \), a distância entre eles é o valor absoluto da diferença \( a - b \), ou seja, \( d(a, b) = |a - b| \).Calcule a distância entre \( a \) e \( b \) nos casos:a) \( a = -7 \), \( b = 0 \)b) \( a = 13 \), \( b = -7 \)c) \( a = \sqrt{5} \), \( b = 7 + \sqrt{5} \)d) \( a = 3 + \sqrt{2} \), \( b = 3 - \sqrt{2} \)e) \( a = -13 \), \( b = -11 \)Fonte: MACHADO, Nilson José. Matemática por assunto: vol. 1. 2. ed. São Paulo: Editora Scipione, 1993
Exercício 5
Considere, em \( \mathbb{R} \), a expressão \( 2x - |x| \). Determine o valor numérico desta expressão para:a) \( x = -4 \)b) \( x = 10 \)Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 4
Aplicando a definição, determine \( |x^2 - 3x + 1| - |x^3 + x| \) quando \( x = -2 \)Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 3
(PUC-MG) O valor de \( |2 - \sqrt{5}| + |3 - \sqrt{5}| \)
Exercício 2
Dê o valor de:a) \( |3 \cdot 2 - 1| \)b) \( |3 - 4 \cdot 5 - 2(-6)| \)c) \( 3 \cdot |-2| + 2 \cdot |3| \)d) \( \left|-\frac{1}{2}\right| + \left|\frac{2}{3}\right| - \left|\frac{1}{4}\right| \)Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática na escola do 2º grau. São Paulo: Atual, 1996.
Exercício 1
De acordo com a definição, calcule:a) \( |3 - 5| \)b) \( |-3 + 5| \)c) \( |-3 - 5| \)d) \( |-1| + |-6| \)e) \( |-3 - 5| + |5| \)f) \( |-8| + |3 - 1| \)g) \( 12 + |-8| - |-1 - 3| \)h) \( ||-2| - |-10|| \)Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 25
(FATEC-SP) O conjunto dos \( x \) reais, que tornam verdadeira a sentença \( \frac{x^2 - 2x - 2}{\sqrt{x^2 - 3x}} \geq 0 \), é:
Exercício 24
Resolva as inequações, em \( \mathbb{R} \):a) \( \frac{\sqrt{x - 2}}{x^2 - 9} < 0 \)b) \( \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x^2 - 9}} \geq 0 \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 23
Resolva, em \( \mathbb{R} \), a inequação:\( x + \sqrt{x^2 - 10x + 9} > \sqrt{x + 2\sqrt{x^2 - 10x + 9}} \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 22
O menor inteiro positivo \( n \) para o qual a diferença \( \sqrt{n} - \sqrt{n - 1} \) fica menor que 0,01 é:
Exercício 21
Resolva, em \( \mathbb{R} \), a inequação:\( \sqrt{x + 6} - \sqrt{x + 1} > \sqrt{2x - 5} \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 20
Resolva a inequação, para \( x \) real:\( \sqrt{x^2 + 3x + 2} < 1 + \sqrt{x^2 - x + 1} \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 19
Resolva a inequação, para \( x \) real:\( \sqrt{3 - x} - \sqrt{x + 1} > \frac{1}{2} \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 18
Resolva, no conjunto dos reais, a inequação:\( \sqrt[4]{x + 8} < \sqrt{x + 2} \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 17
Resolva, no conjunto dos reais, a inequação:\( \sqrt{2 - \sqrt{3 + x}} - \sqrt{4 + x} < 0 \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 16
Resolva as inequações, em \( \mathbb{R} \):a) \( \sqrt{x^2 - 7x + 17} \geq \sqrt{8 + 2x - x^2} \)b) \( \sqrt{2x^2 - 10x + 8} > \sqrt{x^2 - 6x + 7} \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 15
Resolva as inequações, em \( \mathbb{R} \):a) \( \sqrt{5 - x} < \sqrt{2x + 7} \)b) \( \sqrt{2x^2 - 5x - 3} \leq \sqrt{8x + 1} \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 14
Resolva a inequação, em \( \mathbb{R} \):\( \frac{\sqrt{-x^2 + 7x - 6}}{x} \geq 1 \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 13
Resolva a inequação, em \( \mathbb{R} \):\( \frac{\sqrt{5x + 3}}{x} < \sqrt{2} \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 12
(CESCEA-SP) Para que a equação \( x^2 + (2 - a)x - (3a - 1) = 0 \) admita duas raízes reais distintas no intervalo \( [-2, 3] \), devemos ter:
Exercício 11
(CESGRANRIO-RJ) Seja \( x \) um número real positivo tal que \( \sqrt{x} > \frac{x}{2} \). Então, o conjunto de tais números é um intervalo aberto cujo ponto médio é:
Exercício 10
Resolva, em \( \mathbb{R} \), as inequações:a) \( \sqrt[3]{3x + 1} > 7 \)b) \( \sqrt[4]{x - 5} \geq 3 \)Fonte: MACHADO, Nilson José. Matemática por assunto: vol. 1. 2. ed. São Paulo: Editora Scipione, 1993
Exercício 9
Resolva a inequação, em \( \mathbb{R} \):\( \sqrt{2 + 3x - 2x^2} \geq x - 2 \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 8
Resolva a inequação, em \( \mathbb{R} \):\( \sqrt{x^2 - 6x + 5} \geq x - 2 \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 7
Resolva as inequações, no conjunto dos números reais:a) \( \sqrt{4 - 19x - 5x^2} \geq -3 \)b) \( \sqrt{2x + 3} \geq 1 - x \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 6
Resolva as inequações, no conjunto dos números reais:a) \( \sqrt{2x + 3} > 5 \)b) \( \sqrt{x^2 - 2x + 7} \geq 3 \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 5
Resolva as inequações, em \( \mathbb{R} \):a) \( \sqrt{x} > 8 \)b) \( 2\sqrt{x} + 3 < 3\sqrt{x} + 2 \)Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática na escola do 2º grau. São Paulo: Atual, 1996.
Exercício 4
(FGV-SP) Resolva a desigualdade \( 1 - 3x > \sqrt{2 + x^2 - 3} \)
Exercício 3
Resolva, em \( \mathbb{R} \), a desigualdade:\( 1 + \sqrt{x^2 - 3x + 2} \leq 2x \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 2
Resolva, em \( \mathbb{R} \), as inequações:a) \( \sqrt{x + 3} \leq x + 1 \)b) \( \sqrt{x + 1} \leq 3 - x \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 1
Resolva as inequações em \( \mathbb{R} \):a) \( \sqrt{x} - 1 < 0 \)b) \( 2\sqrt{x} + 3 < 0 \)c) \( \sqrt{2x + 5} \leq 3 \)d) \( \sqrt{2x^2 + x + 3} < 1 \)Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática na escola do 2º grau. São Paulo: Atual, 1996.Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 45
(PUC-MG) Se \( x + \sqrt{y} = \frac{19}{9} \) e \( \sqrt{9x + 5 - \sqrt{y}} = 2 \), a razão \( \frac{y}{x} \) é igual a:
Exercício 44
(FGV-SP) Uma das soluções do seguinte sistema de equações \( \begin{cases} \sqrt{\frac{x}{y}} - \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{3}{2} \\ x + yx + y = 9 \end{cases} \), atende a qual das alternativas?
Exercício 43
Resolva os sistemas de equações, em \( \mathbb{R} \times \mathbb{R} \):a) \( \begin{cases} \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{5}{2} \\ x + y = 10 \end{cases} \)c) \( \begin{cases} x + y - \sqrt{xy} = 7 \\ x^2 + y^2 + xy = 133 \end{cases} \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 42
Resolva o sistema de equações, em \( \mathbb{R} \times \mathbb{R} \):\( \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 2\sqrt{xy} \\ x + y = 20 \end{cases} \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAK
Exercício 41
Resolva os sistemas de equações, em \( \mathbb{R} \times \mathbb{R} \):a) \( \begin{cases} x + y = 72 \\ \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 6 \end{cases} \)b) \( \begin{cases} xy = 36 \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5 \end{cases} \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 40
Resolva os sistemas de equações, em \( \mathbb{R} \times \mathbb{R} \):a) \( \begin{cases} 5\sqrt{x^2 - 3y - 1} + \sqrt{x + 6y} = 19 \\ 3\sqrt{x^2 - 3y - 1} = 1 + 2\sqrt{x + 6y} \end{cases} \)b) \( \begin{cases} \sqrt{x + y} + \sqrt{2x + 4y} = 4 + \sqrt{2} \\ \sqrt{x + 2y} - \sqrt{2x + 2y} = 2\sqrt{2} - 2 \end{cases} \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 39
(Mack-SP) Se o número \( x \) é solução da equação \( \sqrt[3]{x + 9} - \sqrt[3]{x - 9} = 3 \), então \( x^2 \) está entre:
Exercício 38
Resolva, em \( \mathbb{R} \), as equações:a) \( \sqrt[3]{x + 2} + \sqrt[3]{x - 2} = \sqrt[3]{11x} \)b) \( \sqrt[3]{1 + \sqrt{x}} + \sqrt[3]{1 - \sqrt{x}} = \sqrt[3]{5} \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 37
Resolva, em \( \mathbb{R} \), as equações:a) \( \sqrt[3]{2x + 1} = 3 \)b) \( \sqrt[3]{4x^2 + 9x + 1} = x + 1 \)c) \( \sqrt[3]{x + 49} - \sqrt[3]{x - 49} = 2 \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 36
Sabendo que \( a \) e \( b \) são números reais e positivos, resolva as equações:a) \( \frac{\sqrt{a + x} + \sqrt{a - x}}{\sqrt{a + x} - \sqrt{a - x}} = \frac{b}{a} \)b) \( \frac{\sqrt{a} + \sqrt{x - b}}{\sqrt{b} + \sqrt{x - a}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 35
Resolva, em \( \mathbb{R} \), a equação:\( \frac{1 + x - \sqrt{2x + x^2}}{1 + x + \sqrt{2x + x^2}} = \frac{\sqrt{2 + x} + \sqrt{x}}{\sqrt{2 + x} - \sqrt{x}} \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 34
Resolva, em \( \mathbb{R} \), a equação:\( \sqrt{x + \sqrt{x}} - \sqrt{x - \sqrt{x}} = \frac{4}{3}\sqrt{\frac{x}{x + \sqrt{x}}} \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 33
Resolva, em \( \mathbb{R} \), as equações:a) \( \frac{1}{1 - \sqrt{1 - x}} - \frac{1}{1 + \sqrt{1 - x}} = \frac{\sqrt{3}}{x} \)b) \( \frac{1}{\sqrt{3 + x} + \sqrt{3 - x}} + \frac{1}{\sqrt{3 + x} - \sqrt{3 - x}} = 2 \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 32
Resolva, em \( \mathbb{R} \), a equação:\( \frac{x + \sqrt{3}}{\sqrt{x} + \sqrt{x + \sqrt{3}}} + \frac{x - \sqrt{3}}{\sqrt{x} - \sqrt{x - \sqrt{3}}} = \sqrt{x} \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 31
Resolva, em \( \mathbb{R} \), a equação:\( \frac{1}{\sqrt{x + \sqrt{x^2 - 1}}} + \frac{1}{\sqrt{x - \sqrt{x^2 - 1}}} = \sqrt{2(x^2 + 1)} \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 30
Sendo \( a \) e \( b \) números reais não negativos, resolva e discuta a equação:\( \sqrt{x + a} = \sqrt{x} + \sqrt{b} \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 29
Sendo \( a \in \mathbb{R}^*_+ \), resolva a equação:\( 2x + 2\sqrt{a^2 + x^2} = \frac{5a^2}{\sqrt{a^2 + x^2}} \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 28
Sendo \( a \) e \( b \) números reais, resolva a equação: \( \sqrt{a - x} + \sqrt{b - x} = \sqrt{a + b - 2x} \).Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 27
Resolva, em \( \mathbb{R} \), a equação:\( \frac{\sqrt{4x + 20}}{4 + \sqrt{x}} = \frac{4 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 26
Resolva, em \( \mathbb{R} \), as equações:a) \( x + \sqrt{x^2 + 16} = \frac{40}{\sqrt{x^2 + 16}} \)b) \( \sqrt{5 + x} + \sqrt{5 - x} = \frac{12}{\sqrt{5 + x}} \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 25
Resolva, em \( \mathbb{R} \), as equações:a) \( \sqrt{2x + 3} + \sqrt{3x + 2} - \sqrt{2x + 5} = \sqrt{3x} \)b) \( \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 2} = \sqrt{x + 34} - \sqrt{x + 7} \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 24
(FEI-SP) Seja 𝑉 o conjunto dos números reais que são soluções da equação racional √2𝑥 − √7 + 𝑥 = 1.
Exercício 23
(U.C-MG) O produto das raízes da equação \( \sqrt{3x + 1} = 1 + \sqrt{2x - 1} \) é:
Exercício 22
Resolva as equações, em \( \mathbb{R} \):a) \( \sqrt{x + 4} + 2\sqrt{x + 1} = \sqrt{x + 20} \)b) \( \sqrt{4x - 3a} - \sqrt{x + 6a} = \sqrt{x - 3a} \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 21
Resolva a equação, em \( \mathbb{R} \):\( \sqrt{1 + x + x^2} + \sqrt{1 - x + x^2} = 4 \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 20
Resolva a equação, em \( \mathbb{R} \):\( \sqrt{x} - \sqrt{x - \sqrt{1 - x}} = 1 \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 19
Resolva as equações, em \( \mathbb{R} \):a) \( \sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1} = 1 \)b) \( \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} = 1 \)c) \( \sqrt{x - 4} + \sqrt{x + 24} = 14 \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 18
(ITA-SP) A respeito da equação \( 3x^2 - 4x + \sqrt{3x^2 - 4x - 6} = 18 \), podemos dizer:
Exercício 17
Resolva a equação, em \( \mathbb{R} \):\( x^2 + \sqrt{x^2 - 4x - 1} = 4x + 7 \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 16
Resolva a equação, em \( \mathbb{R} \):\( 3x^2 + 5x + 4 = 2\sqrt{3x^2 + 5x + 7} \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 15
(MACK-SP) Todas as raízes da equação \( 2\sqrt{x} + 2x^{-\frac{1}{2}} = 5 \) estão no intervalo:
Exercício 14
(U.E.CE) A soma das raízes da equação \( \sqrt[3]{x^2} - 2\sqrt[3]{x} - 15 = 0 \) é:
Exercício 13
Resolva as equações, em \( \mathbb{R} \):a) \( 3\sqrt[4]{x} - 2\sqrt{x} - 1 = 0 \)b) \( 9\sqrt[4]{x^3} - 8\sqrt{x^3} - 1 = 0 \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 12
Resolva as equações, em \( \mathbb{R} \):a) \( 6x + 7\sqrt{x} + 2 = 0 \)b) \( x^3 - 6\sqrt{x^3} + 5 = 0 \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 11
Sendo \( a \) e \( b \) números reais não nulos, resolva a equação:\( \sqrt{a^2 + x\sqrt{b^2 + x^2 - a^2}} = x - a \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 10
(PUC-RJ)a) Resolva a equação \( x^2 - x - 2 = 0 \), sabendo que \( x \in \mathbb{R} \).b) Resolva a equação \( \sqrt{x^2 + 3x + 6} = 2x \), sabendo que \( x \in \mathbb{R} \)
Exercício 9
(PUC-SP) O conjunto verdade da equação irracional \( \sqrt{x - 1} + \sqrt{2x - 2} = 2 \) é:
Exercício 8
(GV-SP) A equação \( \sqrt{x - 1} = -\sqrt{x^2 - 1} \):
Exercício 7
(PUC-SP) O conjunto verdade da equação \( \sqrt{4x + 1} = 2x - 1 \) é:
Exercício 6
(UEL-PR) O conjunto solução da equação \( x - 1 = \sqrt{x + 11} \), em \( \mathbb{R} \), está contido no intervalo:
Exercício 5
Resolva em \( \mathbb{R} \), as equações irracionais:a) \( x - 5\sqrt{x} + 4 = 0 \)b) \( \sqrt[4]{x - 4} = 2 \)c) \( \sqrt{x - 1} + \sqrt{x^2 - 1} = 0 \)Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática - Tema e Metas: Conjuntos Numéricos e Funções. 2. ed. São Paulo: Atual, 1988.
Exercício 4
Resolva em \( \mathbb{R} \), as equações irracionais:a) \( \sqrt{16 + \sqrt{x}} + 4 = 5 \)b) \( \sqrt{1 - \sqrt{x^4 - x^2}} = x - 1 \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 3
Resolva em \( \mathbb{R} \), as equações irracionais:a) \( x - \sqrt{25 - x^2} = 7 \)b) \( \sqrt{x^2 + x - 1} = 2 - x \)c) \( \sqrt{3x^2 - 7x + 4} = 2 \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 2
Resolva em \( \mathbb{R} \), as equações irracionais:a) \( \sqrt{2x - 1} = 7 \)b) \( \sqrt{3x + 4} = x \)c) \( \sqrt{x - 7} = 2x - 6 \)d) \( \sqrt[3]{3x + 5} = 2 \)Fonte: MACHADO, Nilson José. Matemática por assunto: vol. 1. 2. ed. São Paulo: Editora Scipione, 1993
Exercício 1
Calcule \( x \) em cada equação:a) \( \sqrt{x} = 2 \)b) \( 2\sqrt{x} = 9 \)c) \( 5\sqrt{x} + 10 = 0 \)d) \( 2\sqrt{x} - 1 = 0 \)Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática - Tema e Metas: Conjuntos Numéricos e Funções. 2. ed. São Paulo: Atual, 1988.
Exercício 49
(ITA-SP) O sistema de desigualdades \( \begin{cases} ax + bx \geq 0 \\ \frac{a}{4}x^2 - bx + (2b - a) < 0 \end{cases} \), com \( a > 0 \), \( b > 0 \), \( b \neq a \), tem solução para:
Exercício 48
(FMARBC-AP) Dada a expressão \( -3 < \frac{x^2 + kx - 2}{x^2 - x + 1} < 2 \), quais são os valores de \( k \) para os quais ela é verdadeira para quaisquer valores reais de \( x \)?
Exercício 47
(FVG-SP) Dado o sistema de inequações:\( \begin{cases} -2x^2 + 3x + 2 \leq 0 \\ x^2 + x - 2 \leq 0 \end{cases} \)O intervalo que satisfaz essas inequações tem amplitude:
Exercício 46
(ITAJUBÁ-MG) Um retângulo tem os seus lados expressos em metros por \( (x - 3) \) e \( (x - 5) \), respectivamente. Determine os valores de \( x \) para que esse retângulo tenha área inferior a \( 8m^2 \) e perímetro superior a \( 4m \).
Exercício 45
Resolva a seguinte inequação em \( \mathbb{R} \):\( 3x^2 + 2x + 1 \leq x^2 + 3x + 2 < 2x^2 + x + 3 \)Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática - Tema e Metas: Conjuntos Numéricos e Funções. 2. ed. São Paulo: Atual, 1988.
Exercício 44
(UNESP-SP) Os valores de \( x \in \mathbb{R} \) que satisfazem o sistema \( \begin{cases} x^2 - 4 < 0 \\ x^2 - 3x < 0 \end{cases} \) são tais que:
Exercício 43
Ache o conjunto solução da dupla desigualdade:\( x^3 + 4(x - 1) \geq (x - 1)(x^2 + 4) > x^3 + 1 \)Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 42
Resolva os sistemas:a) \( \begin{cases} 5x^2 - 4x > 0 \\ 9 - x^2 > 0 \end{cases} \)b) \( \begin{cases} x^2 \geq 8x \\ x^2 \geq 9 \\ x^2 \geq 8x + 9 \end{cases} \)Fonte: Machado, A. d. (1996). Matemática na escola do 2º grau. São Paulo: Atual.
Exercício 41
(CESCEA-SP) Se \( \frac{x - a}{x^2 + 1} < \frac{x + a}{x^2} \), para todo \( x \neq 0 \), então:
Exercício 40
(ITA-SP) Em qual dos casos abaixo vale a desigualdade \( \frac{x^2 - ax - 2a^2}{x^2 - (a + 2)x + 2a} < 0 \)?
Exercício 39
Ache os valores de \( p \) que verificam a condição a seguir, \( \forall x \in \mathbb{R} \):\( \frac{(p + 2)x^2 - 2px + p - 1}{5x^2 + 4} > 0 \)Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 38
Determine \( m \) para que se tenha \( \forall x \in \mathbb{R} \):a) \( \frac{x^2 - mx + 2}{x^2 - x + 2} > m \)b) \( \frac{x}{x^2 + 4} > \frac{x + m}{x^2 + 1} \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 37
(SANTA CASA-SP) Se o conjunto solução da inequação \( \frac{3x + 1}{x^2 + bx + c} \geq 0 \), em \( \mathbb{R} \), é \( \left\{x \in \mathbb{R} \mid -1 < x \leq -\frac{1}{3} \text{ ou } x > 2\right\} \), então \( \frac{b}{c} \) é igual a:
Exercício 36
(FATEC-SP) Se \( A = \left\{x \mid x \in \mathbb{R}, \frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x^2} > 1\right\} \), então:
Exercício 35
Sendo \( A = \left\{x \in \mathbb{R} \mid 1 - \frac{1}{x - 5} > 0\right\} \) e \( B = \{x \in \mathbb{R} \mid x - 4x^2 < 0\} \), determine com intervalos de números reais:a) \( A \)b) \( B \)c) \( A \cap B \)d) \( A \cup B \)Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 34
Resolva a inequação \( \frac{x^2 + x + 2x + 2}{x^3 + 2x^2 - 8x} < 0 \) Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 33
(FUVEST-SP) Resolva a inequação \( \frac{x^2 - x - 1}{\sqrt{x^2 - 3x}} \geq 0 \).
Exercício 32
# (UEL-PR) O conjunto solução da inequação \( \frac{(x - 3)^4(x^3 - 2x^2)}{x^2 - 1} \geq 0 \), no universo \( \mathbb{R} \) é:
Exercício 31
# (UDESC) Dada a sequência \( \left(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \ldots\right) \), e considerando que a sequência segue o mesmo padrão, a soma do numerador e do denominador do menor termo cuja diferença do seu sucessor com ele é menor que \( \frac{1}{600} \) é igual a:
Exercício 30
Resolva em \( \mathbb{R} \) as inequações: a) \( -2\frac{(2x - 4)}{7(-2x^2 + 5x - 2)} \geq 0 \) b) \( \frac{(-x^2 + x - 1)^5}{(x^2 - 6x + 8)^9(2x^2 - x - 3)^8} \leq 0 \) Fonte: OLIVEIRA, A. L., MACHADO, A. S., LAUDARES, J. B., ISE, K., FERREIRA, S. F. (1997). Funções – Para Escolas Técnicas Industriais e Centros de Educação Tecnológica. Curitiba. Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná.
Exercício 29
(FUVEST-SP) Resolva \( 2x - 3 + 5\left(\frac{1}{x} + 1\right) \leq 1 \)
Exercício 28
Determine, em \( \mathbb{R} \), o conjunto solução das inequações: a) \( t + \frac{1}{t} \leq -2 \) b) \( \frac{x^2 + 2x - 1}{x^2 - 1} \geq \frac{1}{x + 1} \) Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 27
Resolva em \( \mathbb{R} \), as inequações: a) \( \frac{2x^2 + 4x + 5}{3x^2 + 7x + 2} < -2 \) b) \( \frac{6x^2 + 12x + 17}{-2x^2 + 7x - 5} \geq -1 \) Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 26
Resolva em \( \mathbb{R} \), as inequações: a) \( \frac{-9x^2 + 9x - 2}{3x^2 + 7x + 2} \leq 0 \) b) \( \frac{x^2 + 2x}{x^2 + 5x + 6} \geq 0 \) Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 25
(UNICAMP-SP) A solução da inequação \( (x^2 - 4)(5x^2 + x + 4) \geq 0 \) é:
Exercício 24
(CESCEM-SP) Os valores de \( x \) que satisfazem à inequação: \( (x^2 - 2x + 8)(x^2 - 5x + 6)(x^2 - 16) < 0 \), são:
Exercício 23
(UFV-MG) Resolvendo a inequação \( (x^2 + 3x - 7)(3x - 5)(x^2 - 2x + 3) < 0 \), um aluno cancela o fator \( (x^2 - 2x + 3) \), transformando-a em \( (x^2 + 3x - 7)(3x - 5) < 0 \). Pode-se concluir que tal cancelamento é:
Exercício 22
Ache o conjunto verdade da inequação:\( (4 - x^2)^{10} \cdot (-x^2 + 2x - 1)^5(3x^2 + x + 1)^3 > 0 \)Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 21
Resolva em \( \mathbb{R} \), as inequações:a) \( (x^2 - 1) \cdot (-x^2 + 4)(x^2 + x + 4)^7 \leq 0 \)b) \( (-x + 1)^5 \cdot (-x^2 + x - 2)^3(2x - 1)^{20} \leq 0 \)Fonte: OLIVEIRA, A. L., MACHADO, A. S., LAUDARES, J. B., ISE, K., FERREIRA, S. F. (1997). Funções – Para Escolas Técnicas Industriais e Centros de Educação Tecnológica. Curitiba. Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná.
Exercício 20
Resolva a inequação \( (4 - x^2)(x^2 + x + 6)(x^2 - 25)(x^2 - 8x + 16) \leq 0 \).Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 19
Resolva, em \( \mathbb{R} \), as inequações:a) \( (1 - 4x^2)(2x^2 + 3x) > 0 \)b) \( (2x^2 - 7x + 6)(2x^2 - 7x + 5) \leq 0 \)c) \( (x^2 - x - 6)(-x^2 + 2x - 1) > 0 \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 18
(ITA-SP) \( \sqrt{-2kx^2 - 3kx + 2k} \) tem valor real para:
Exercício 17
(GV-SP) A condição para que o trinômio \( mx^2 + (m + 1)x + 1 \) seja sempre positivo, qualquer que seja \( x \), é que:
Exercício 16
# (MACK-SP) As raízes da equação \( (a - b + c)x^2 + 4(a - b)x + (a - b - c) = 0 \), com \( a - b + c \neq 0 \) são reais:
Exercício 15
# (CESGRANRIO) Se a equação \( 7x^2 + bx + 2 = 0 \) não admite raízes reais, o coeficiente \( b \) satisfaz a condição:
Exercício 14
(MACK-SP) A desigualdade \( x^2 - 2(m + 2)x + m + 2 > 0 \) é verificada para todo número real \( x \), se e somente se:
Exercício 13
(PM Ceará). O batalhão de polícia militar de uma cidade constituída dos bairros B1, B2 e B3 será dividido em três pelotões distintos de modo que cada um fique responsável pelo policiamento ostensivo de um desses bairros. As populações dos bairros B1, B2 e B3 são, respectivamente, iguais a 60.000, 66.000 e 74.000 pessoas; o batalhão possui um efetivo de 4.000 militares dos quais 300 trabalham exclusivamente em uma central única de comunicação e inteligência, não caracterizando atividade policial ostensiva; e todos os militares do batalhão residem na cidade. Com base nessa situação hipotética, julgue a afirmação a seguir:Se as quantidades de policiais do sexo feminino em cada um dos três pelotões são números que satisfazem à inequação \( x^2 - 520x + 64.000 < 0 \), então, é correto afirmar que no batalhão, há mais de 600 policiais do sexo feminino?
Exercício 12
# (CESCEA-SP) O conjunto de todos os números reais \( x \) para os quais a expressão \( \frac{\sqrt{4 - x^2}}{\sqrt[3]{x - 1}} \), está definida é:
Exercício 11
(UFCE) A idade de Paulo, em anos, é um número inteiro para que satisfaz a desigualdade \( x^2 - 32x + 252 < 0 \). O número que representa a idade de Paulo pertence ao conjunto:
Exercício 10
(BASA – Cesgranrio). No conjunto dos números reais, considere as seguintes duas inequações:Inequação 1: \( 5x - 7 > x^2 - x + 1 \)Inequação 2: \( x + 6 > -x + 10 \)Um número real x, que é solução da inequação 2, também será solução da inequação 1, se, e somente se, for solução da inequação:
Exercício 9
(PUC-SP) Se \( A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 3x + 2 \leq 0\} \) e \( B = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 4x + 3 > 0\} \), então \( A \cap \overline{B} \) é igual a:
Exercício 8
(FGV-SP) Se \( A = \{x \in \mathbb{R} \mid 3x - 2x^2 \geq 0\} \), \( B = \{x \in \mathbb{R} \mid 1 \leq x \leq 3\} \) e \( C = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - x - 2 \geq 0\} \), determine \( (A \cup B) \cap C \):
Exercício 7
(EPUSP) – Seja \( A \) o conjunto dos números inteiros positivos que satisfazem a inequação \( (3x - 3)(2x - 5) < (5 - 2x)^2 \), então:
Exercício 6
(UEL-PR) O conjunto dos valores reais de \( x \) que tornam verdadeira a sentença \( 2x^2 - x < 1 \), é:
Exercício 5
Resolva as inequações:a) \( x^3 - x^2 - 12x \leq 0 \)b) \( -x^3 + 6x^2 - 9x \leq 0 \)Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 4
Resolva as inequações em \( \mathbb{R} \):a) \( \frac{4m - 3}{2} \geq \frac{3}{4} + m(m - 1) \)b) \( x(x^2 + 1) + (x + 2)(x - 2) \geq x^2(2 + x) \)c) \( (y - 5)^2 - 2(y - 5) > -1 \)Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática na escola do 2º grau. São Paulo: Atual, 1996.
Exercício 3
Resolva cada uma das inequações, em \( \mathbb{R} \):a) \( -3(x^2 + 2x) + 4x \leq 6x(-x + 2) \)b) \( (2x - 1)^2 + 5 \leq 2(2 - x) \)Fonte: MUNHOZ, Aida F. da Silva; IKIEZAKI, Iracema Mori. Elementos de Matemática. São Paulo: FTD, 1997.
Exercício 2
Resolva as inequações em ℝ:a) \( -4x^2 + 20x - 25 \geq 0 \)b) \( 4 \leq x^2 \)c) \( -9x^2 \geq 0 \)
Exercício 1
Resolva em ℝ as inequações:a) \( \frac{2}{3}x^2 + \frac{7}{2}x \leq 0 \)b) \( -2x^2 + 3x - 2 < 0 \)c) \( 3x^2 + 7x + 2 \geq 0 \)Fonte: MUNHOZ, Aida F. da Silva; IKIEZAKI, Iracema Mori. Elementos de Matemática. São Paulo: FTD, 1997.
Exercício 28
Ao resolver uma equação do 2º grau, um aluno comete um erro no termo independente de \( x \) e obtém as raízes 4 e 6. Outro aluno, comete um erro no coeficiente do termo de 1º grau e obtém as raízes -5 e -2. A equação correta é:IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antônio. Matemática e Realidade: 8ª Série. São Paulo: Atual Editora, 2002
Exercício 27
Resolva a equação biquadrada a seguir, na incógnita \( x \):\( x^4 = (a^2 + b^2)b^2x^2 - a^2b^6 \)IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antônio. Matemática e Realidade: 8ª Série. São Paulo: Atual Editora, 2002
Exercício 26
Resolva as seguintes equações na incógnita \( x \):a) \( abx^2 + (a^2 - b^2)x - ab = 0 \) (\( a \cdot b \neq 0 \))b) \( (ax - 1)(x + a) = (ax - 1)(2x + a) \)IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antônio. Matemática e Realidade: 8ª Série. São Paulo: Atual Editora, 2002
Exercício 25
(UFPE) Considere a equação \( x^2 + (k - 4)x - 2k + 4 = 0 \). Indique os valores de \( k \), para os quais o número real 3 está compreendido entre as raízes dessa equação.
Exercício 24
(CESGRANRIO-RJ) Sejam \( p \) e \( q \) reais. Se a equação do segundo grau em x, \( x^2 + p^2x + q^2 + 1 = 0 \) tem duas raízes \( x_1 \) e \( x_2 \), então:
Exercício 23
Mostre que, sendo 𝑏 > 𝑎 > 0, a equação 𝑎𝑥2 + 2𝑏𝑥 + 𝑎 = 0 tem duas raízes reais distintas.MACHADO, Nilson José. Matemática por assunto: vol. 1. 2. ed. São Paulo: Editora Scipione, 1993.
Exercício 22
Determine os valores reais de \( m \), para os quais:a) \( x^2 - 6x - m - 4 = 0 \) admita duas raízes reais diferentes;b) \( mx^2 - (2m - 2)x + m - 3 = 0 \) admita duas raízes reais e iguais;BACCARO, Nelson; CYRINO, Hélio. Matemática - Segundo Grau. São Paulo: Atual Editora, 1992.
Exercício 21
(PUC-SP) Para que a equação \( x^2 - ax + \frac{a^2 - b^2}{4} = 0 \) tenha raízes reais e iguais, é necessário e suficiente que:
Exercício 20
(CESCEM-SP) O trinômio \( ax^2 + bx + c = 0 \) tem duas raízes reais, não nulas e distintas, \( \alpha \) e \( \beta \). Então o trinômio \( a\alpha x^2 + \beta bx + \alpha\beta^2 c = 0 \):
Exercício 19
Sendo \( a \) e \( b \) as raízes da equação \( 2x^2 - 5x + m = 4 \), então, se \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = -\frac{5}{3} \), o valor de \( m \) é:
Exercício 18
Se \( xy = 2 \) e \( \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = 3 \), então \( (x + y)^2 \) é igual a:
Exercício 17
(Unioeste) Dentre as equações abaixo, qual não possui solução com \( x \) e \( y \) inteiros?
Exercício 16
Sendo \( x_1 \) e \( x_2 \) as raízes da equação \( 7x^2 - 13x + 5 = 0 \), calcule o valor de cada uma das expressões:a) \( x_1 + x_2 \)b) \( x_1 \cdot x_2 \)c) \( x_1^2 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_2^2 \)d) \( x_1^2 + x_2^2 \)e) \( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} \)f) \( \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} \)IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antônio. Matemática e Realidade: 8ª Série. São Paulo: Atual Editora, 2002
Exercício 15
Em torno de uma quadra de futebol de salão de comprimento 15m e largura 8m, deseja-se deixar uma faixa de largura \( x \). Calcule \( x \) sabendo que a área da quadra com a faixa é \( 139,04 \, m^2 \).IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antônio. Matemática e Realidade: 8ª Série. São Paulo: Atual Editora, 2002
Exercício 14
Um número real é tal que a soma de seu quadrado com o quadrado do seu inverso multiplicativo é \( \frac{97}{36} \). Qual é o número?IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antônio. Matemática e Realidade: 8ª Série. São Paulo: Atual Editora, 2002
Exercício 13
O produto de dois números inteiros é 1116 e a diferença entre eles é 5. Quais são esses números?IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antônio. Matemática e Realidade: 8ª Série. São Paulo: Atual Editora, 2002
Exercício 12
(MACK-SP) Se \( r \) e \( s \) são as raízes da equação \( ax^2 + bx + c = 0 \), \( a \neq 0 \) e \( c \neq 0 \), o valor de \( \frac{1}{r^2} + \frac{1}{s^2} \) é:
Exercício 11
(CESGRANRIO-RJ) A equação do 2º grau cuja menor raiz é \( 2 - \sqrt{3} \) e o produto das raízes é igual a 1 é expressa por:
Exercício 10
(FEI-SP) O número de soluções reais da equação \( 5x^4 + x^2 - 3 = 0 \) é:
Exercício 9
Resolva as equações:a) \( \frac{2}{x^2-1} \cdot \frac{2}{x^2+1} = \frac{1}{x^2-1} \)b) \( x^2 + \frac{1}{x^2-5} = 7 \)Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática na escola do 2º grau. São Paulo: Atual, 1996.
Exercício 8
Resolva as equações:a) \( \frac{4x-1}{4x+4} + \frac{2x+1}{4x+4} = \frac{3(2x+1)}{2(x+1)(4x+5)} \)b) \( \frac{x}{x+1} + \frac{1}{2x-4} = \frac{x-x^2}{x^2-x-2} \)Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática na escola do 2º grau. São Paulo: Atual, 1996.
Exercício 7
A letra \( x \) que utilizamos para representar a variável em \( f(x) \), pode ser substituída, naturalmente, por qualquer outra. Pensando no que realmente é importante, ou seja, no significado de cada letra, de cada coeficiente, resolva as equações em \( \mathbb{R} \):a) \( m^2 - 5m + 6 = 0 \)b) \( l^2 - \sqrt{5}l + 1 = 0 \)c) \( 9 - 10b + b^2 = 0 \)d) \( 2c - 15c^2 + 1 = 0 \)MACHADO, Nilson José. Matemática por assunto: vol. 1. 2. ed. São Paulo: Editora Scipione, 1993.
Exercício 6
Quando a equação \( ax^2 + bx + c = 0 \) é incompleta, isto é, \( b = 0 \) ou \( c = 0 \), podemos resolvê-la facilmente sem utilizar a fórmula de Báskara. Experimente isso com as equações:a) \( -15x^2 = 0 \)b) \( 7x^2 - 63 = 0 \)c) \( 15x - 5x^2 = 0 \)d) \( \sqrt{3}x - \sqrt{6}x^2 = 0 \)MACHADO, Nilson José. Matemática por assunto: vol. 1. 2. ed. São Paulo: Editora Scipione, 1993.
Exercício 5
Resolva em \( \mathbb{R} \):a) \( 16 - x^2 = 0 \)b) \( 9 + x^2 = 0 \)c) \( 2x^2 - 20 = 0 \)d) \( 3x^2 + 5 = 0 \)e) \( (x + 1)^2 = 4 \)f) \( (x - 1)^2 = -7 \)MACHADO, Nilson José. Matemática por assunto: vol. 1. 2. ed. São Paulo: Editora Scipione, 1993.
Exercício 4
Determine a soma e o produto das raízes das equações:a) \( x^2 - \pi x + \sqrt{2} = 0 \);b) \( x^2 + \sqrt{3}x + \pi = 0 \);c) \( \pi x^2 - 7x + 2 = 0 \)MACHADO, Nilson José. Matemática por assunto: vol. 1. 2. ed. São Paulo: Editora Scipione, 1993.
Exercício 3
Dada a equação \( x^2 - 15x + \pi = 0 \):a) Mostre que ela tem duas raízes reais distintas;b) Determine a soma dessas raízes sem calculá-las;c) Determine o produto das raízes.MACHADO, Nilson José. Matemática por assunto: vol. 1. 2. ed. São Paulo: Editora Scipione, 1993.
Exercício 2
Sendo \( x_1 \) e \( x_2 \) as duas raízes reais de \( ax^2 + bx + c = 0 \):a) Mostre, usando a fórmula de Báskara, que \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) e \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \);b) Dividindo por \( a \) os dois membros da equação, mostre que ela se transforma em \( x^2 - Sx + P = 0 \), onde \( S = x_1 + x_2 \) e \( P = x_1 \cdot x_2 \).MACHADO, Nilson José. Matemática por assunto: vol. 1. 2. ed. São Paulo: Editora Scipione, 1993.
Exercício 1
Demonstre a fórmula de Bhaskara.
Exercício 42
(UEMT) A solução do sistema \( \begin{cases} 3x + 2 < 7 - 2x \\ 48x < 3x + 10 \\ 11 - 2(x - 3) > 1 - 3(x - 5) \end{cases} \), é o conjunto dos números reais \( x \), tais que:
Exercício 41
(CEFET-RJ) Chamamos força do conjunto solução de um sistema de inequações resolvido no conjunto dos números inteiros, a soma de todos os elementos desse conjunto solução.No sistema \( \begin{cases} 2(x + 2) \geq 5x + 13 \\ \frac{x}{2} - \frac{x}{3} > -1 \end{cases} \), se \( x \) é um número do conjunto dos inteiros que torna verdadeiras as inequações, a força do conjunto solução desse sistema será igual a:
Exercício 40
Determine o conjunto solução do sistema:\( \begin{cases} (x - 1)^6(x + 2)^7 \leq 0 \\ -2(x + 4)(x - 3) < 0 \end{cases} \)
Exercício 39
(EEAR) Dados o sistema, um valor que não o satisfaz é:\( \begin{cases} 3 - 2x \leq 2 \\ x - 5 < 1 - x \end{cases} \)
Exercício 38
Qual o valor inteiro de \( x \) que satisfaz simultaneamente as inequações \( x - \frac{3x-1}{2} > 0 \) e \( x - \frac{3x+1}{4} < 0 \)?Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 37
Resolva, em \( \mathbb{R} \), os sistemas de inequações:a) \( \begin{cases} \frac{1-x}{6} - \frac{x-2}{3} > \frac{x+1}{4} \\ \frac{x-5}{4} - \frac{x}{20} < \frac{4-x}{5} \\ \frac{1-x}{2} + \frac{x-2}{6} > \frac{2x+1}{2} \end{cases} \)b) \( \begin{cases} x(x + 1) - 2(3x - 1) \leq -x(1 - x) \\ (x + 1)^2 - (x - 1)^2 < 8 \\ 5x - (x + 3)^2 \geq -(2x + 9) - x^2 \end{cases} \)Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 36
(UNIP-SP) O número de soluções inteiras do sistema \( 0 < \frac{2x-2}{3} \leq 2 \) é:
Exercício 35
Resolva as inequações simultâneas em \( \mathbb{R} \).a) \( -1 < 3x - 2 < 1 \)b) \( -5 \leq 6 - 3x < 5 \)c) \( x^2 + 3 \leq x(x + 5) \leq x(x + 4) \)d) \( \frac{x - 1}{2} < 3 + \frac{x}{3} \leq \frac{-3x - 1}{4} \)
Exercício 34
Sejam \( A = \{x \in \mathbb{N} \mid \frac{1}{x} > \frac{3}{20}\} \) e \( B = \{x \in \mathbb{N} \mid \frac{20}{x - 2} > 2\} \). Determine \( A \cap B \).Fonte: Machado, A.D. Matemática na escola do 2º grau. São Paulo. Atual, 1996.
Exercício 33
(MACK-SP) O conjunto solução de \( \frac{6x}{x + 3} < 5 \) é:
Exercício 32
(CESCEA-SP) O conjunto de todos os \( x \) para os quais \( \sqrt{\frac{x + 1}{x - 2}} \) é um número real é:
Exercício 31
Determine o conjunto solução de:\( \frac{x^3(x - 1)^5(x + 3)^2}{(x + 1)^4} > 0 \)Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 30
(UFMG) O conjunto de todos os valores de \( x \) que satisfazem \( \frac{-3}{x + 1} \geq 0 \) é:
Exercício 29
Resolva as seguintes inequações em \( \mathbb{R} \):a) \( \frac{2}{x} \leq 2 \)b) \( \frac{3x - 1}{1 - 2x} \geq 1 \)c) \( \frac{-3 - 4x}{2x + 1} < -1 \)d) \( \frac{x}{x - 3} \geq -\frac{1}{1 - x} \)
Exercício 28
Resolva as seguintes inequações em \( \mathbb{R} \):a) \( \frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2} - \frac{3}{x - 3} < 0 \)b) \( \frac{2}{3x - 1} \geq \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos.
Exercício 27
Resolva as seguintes inequações em \( \mathbb{R} \):a) \( \frac{1}{3 - 2x} > 0 \)b) \( \frac{5}{x - \pi} \leq 0 \)c) \( \frac{\sqrt{3} - x}{x - \sqrt{2}} > 0 \)d) \( \frac{x - 1}{(x - \frac{1}{3})(x - \frac{2}{3})} \geq 0 \)
Exercício 26
Determine, em \( \mathbb{R} \), a solução da inequação \( (3x - 2)^{77}(x - 5)^{100}(2 - \pi x)x^{101} > 0 \).
Exercício 25
(OSEC-SP) Dada a inequação \( (x - 2)^8(x - 10)^4(x + 5)^2 < 0 \), o conjunto solução é \( x \in \mathbb{R} \), tal que:
Exercício 24
(UNIP-SP) O conjunto verdade em \( \mathbb{R} \), da inequação \( (x - 3)^9(x - 1)^{10} < 0 \) é \( x \in \mathbb{R} \), tal que:
Exercício 23
(UFMG) O conjunto de todos os valores reais de \( x \) que satisfazem a desigualdade \( (x^2 - 9)^5(x - 3)^7 < 0 \) é:
Exercício 22
Resolva, em \( \mathbb{R} \), as inequações:a) \( (x - 2)^6 > 0 \)b) \( (2x + 5)^3 < 0 \)c) \( (1 - 2x)^4 \geq 0 \)d) \( (-3x)^7 \leq 0 \)
Exercício 21
Quantos são os elementos do conjunto \( \{x \in \mathbb{N} \mid (x - 1)(7 - x) > 0\} \)?
Exercício 20
(CSTC – SP) Se um número real \( x \) satisfaz a inequação:\( (x - 5)(2 - x)(3x - 2) \geq 0 \), então:
Exercício 19
Resolva as inequações a seguir:a) \( (-6x + 3)(-2x)(x - 3) < 0 \)b) \( (1 - x)(4x - 8)(-x + 3)(2 - x) \geq 0 \)Fonte: OLIVEIRA, A. L., MACHADO, A. S., LAUDARES, J. B., ISE, K., FERREIRA, S. F. (1997). Funções – Para Escolas Técnicas Industriais e Centros de Educação Tecnológica. Curitiba. Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná.
Exercício 18
Resolva as inequações a seguir:a) \( (x - \sqrt{2})(\sqrt{3} - x) > 0 \)b) \( (\pi + 3x)(\sqrt{2} - x) > 0 \)c) \( (1 - x)(15 - \pi x) \geq 0 \)Fonte: MACHADO, N. J. (1988). Matemática por Assunto. Vol. 1. São Paulo: Scipione.
Exercício 17
Resolva as inequações a seguir:a) \( (5x - 2)(2x + 6) \geq 0 \)b) \( (x + 3)(-x - 3) \leq 0 \)c) \( (2 - 3x)(5 - 2x)(1 - 4x) \leq 0 \)d) \( 3x(x - 2)(\frac{x}{3} + 1)(2x - 7) > 0 \)
Exercício 16
(PUC-RS) Rubens ganhou uma herança no valor de \( \text{R\$ } 800{.}000{,}00 \) e decidiu investir parte do dinheiro na poupança e parte em renda fixa com o objetivo de garantir um rendimento líquido de pelo menos \( \text{R\$ } 24{.}000{,}00 \) após um ano. O rendimento da poupança é de 2,5% ao ano, livre de tributos. Já a renda fixa tem rendimentos de 4% ao ano, que serão tributados em 17,5% ao ano. Desse modo, a parte da herança, em reais, investida na renda fixa deve ser igual ou maior do que:
Exercício 15
(ENEM) Uma microempresa especializou-se em produzir um tipo de chaveiro personalizado para brindes. O custo de produção de cada unidade é de \( \text{R\$ } 0{,}42 \) e são comercializados em pacotes com 400 chaveiros, que são vendidos por \( \text{R\$ } 280{,}00 \). Além disso, essa empresa tem um custo mensal fixo de \( \text{R\$ } 12{.}800{,}00 \) que não depende do número de chaveiros produzidos. Qual é o número mínimo de pacotes de chaveiros que devem ser vendidos mensalmente para que essa microempresa não tenha prejuízo no mês?
Exercício 14
(UEPG-PR) Miguel e Marlon disputam cem partidas de xadrez. Cada vez que Miguel ganha uma partida, recebe \( \text{R\$ } 4{,}00 \) de Marlon e cada vez que Marlon vence uma partida, recebe \( \text{R\$ } 8{,}00 \) de Miguel. A partir do que foi exposto, assinale o que for correto.
Exercício 13
Uma pessoa compra um terreno de 40 metros de comprimento por 20 metros de largura. Ela deseja construir uma casa e estabelece ao arquiteto contratado pelo projeto certas condições:I. A área destinada ao lazer deve ter \( 200 \, m^2 \);II. A área interna da casa mais a área de lazer devem ultrapassar 50% da área total do terreno;III. O custo da construção da casa deve ser menor que \( \text{R\$ } 450{.}000{,}00 \).Sabendo que o metro quadrado construído custa \( \text{R\$ } 1{.}500{,}00 \), a área interna da casa que o arquiteto irá projetar será:
Exercício 12
Numa escola é adotado o seguinte critério: a nota da primeira prova é multiplicada por 1, a nota da segunda prova é multiplicada por 2 e a da última prova é multiplicada por 3. Os resultados, após somados, são divididos por 6. Se a média obtida por este critério for maior ou igual à 6,5, o aluno é dispensado das atividades de recuperação. Suponha que um aluno tenha tirado 6,3 na primeira prova e 4,5 na segunda. Quanto precisará tirar na terceira para ser dispensado da recuperação?Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 11
(UFPR) Uma malharia produz camisetas personalizadas para eventos esportivos. Cada novo modelo possui um custo fixo de \( \text{R\$ } 450{,}00 \) mais \( \text{R\$ } 9{,}00 \) por camiseta produzida. Sabendo que cada camiseta será vendida por \( \text{R\$ } 20{,}00 \), a desigualdade que permite calcular o número de camisetas a serem vendidas para que se tenha um lucro de no mínimo \( \text{R\$ } 1000{,}00 \) é:
Exercício 10
Classifique em verdadeiro ou falso: Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática na escola do 2º grau. São Paulo: Atual, 1996.
Exercício 9
Seja \( A = \{x \in \mathbb{R} \mid \frac{x}{5} + \frac{x}{2} > 1\} \) e \( B = \{x \in \mathbb{R} \mid \frac{3x}{7} - \frac{x}{10} < 0\} \). Determine \( A \cap B \).Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática na escola do 2º grau. São Paulo: Atual, 1996.
Exercício 8
Encontre os conjuntos \( A \) e \( B \), descritos a seguir:\( A = \{x \in \mathbb{N} \mid 3x + 2(1 - 4x) > x - 18\} \)\( B = \{x \in \mathbb{Z} \mid \frac{x}{2} - 2(x - 1) \leq 0\} \)Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática na escola do 2º grau. São Paulo: Atual, 1996.
Exercício 7
Quais são os valores de \( x \), no conjunto dos números naturais \( (\mathbb{N}) \), que satisfazem a inequação \( 7x - 8 < 4x + 1 \)?Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 6
(USP) Se o conjunto solução em \( \mathbb{R} \), da inequação \( ax + b > 0 \) é \( \{x \in \mathbb{R} \mid x < -\frac{3}{2}\} \), então podemos afirmar que:
Exercício 5
(PUC-SP) O menor número inteiro \( k \) que satisfaz a inequação \( 8 - 3(2k - 1) < 0 \) é:
Exercício 4
Determine x na inequação:\( \frac{x}{a} - \frac{1-a}{b} \geq \frac{x-1}{b} + \frac{1-x}{1-a} \quad \text{com } b > a > 0 \text{ e } a < 1 \)Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992
Exercício 3
Encontre o conjunto verdade das inequações:a) \( \frac{x + \frac{3(x-1)}{4}}{1 - \frac{1}{3}} - (x + 2)(x - \frac{1}{3}) > \frac{1}{4} - (x - \frac{1}{3})^2 \)b) \( \frac{x}{2} - \{1 + [\frac{x+1}{4} - (\frac{2x+3}{2} - \frac{x}{2})]\} \leq 0 \)Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992
Exercício 2
Resolva as inequações a seguir:a) \( (3x + 1)(2x + 1) \leq (2x - 1)(3x + 2) - (4 - 5x) \)b) \( (3x - 2)^2 - (3x - 1)^2 > (x + 2)^2 - (x - 1)^2 \)c) \( 6(x + 2) - 2(3x + 2) > 2(3x - 1) - 3(2x + 1) \)Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993
Exercício 1
a) \( 2x\sqrt{3} - 3 \leq 0 \);b) \( \pi x + \frac{1}{\pi} < 1 \);c) \( 2(x - 1) \geq 4(x + 2) \);d) \( \frac{5x}{3} + \frac{x-1}{5} + x + 1 \leq 0 \)
Exercício 26
(UFBH) A expressão 𝑥 ∈ ℝ − [0,2[ equivale a:
Exercício 25
(Fuvest – SP) O número 𝑥 não pertence ao intervalo aberto de extremos -1 e 2. Sabe-se que 𝑥 < 0 ou 𝑥 > 3. Pode-se então concluir que:
Exercício 24
(UFJF – MG) Define-se o comprimento de cada um dos intervalos [𝑎, 𝑏],]𝑎, 𝑏[,]𝑎, 𝑏] e [𝑎, 𝑏[, como sendo a diferença 𝑏 − 𝑎. Dados os intervalos 𝑀 =[3,10], 𝑁 = ]6, 14[ e 𝑃 = [5,12[, o comprimento do intervalo resultante de (𝑀 ∩ 𝑃) ∪ (𝑃 − 𝑁) é igual a:
Exercício 23
Considere o conjunto \( I = \{1, 2, 3\} \). Para cada \( n \in I \), sejam:\( A_n = \{x \in \mathbb{R} | 2n < x \leq 2n + 2\} \)\( B_n = \{x \in \mathbb{R} | 2n + 1 < x \leq 2n + 3\} \)Então:
Exercício 23
Considere o conjunto \( I = \{1, 2, 3\} \). Para cada \( n \in I \), sejam:\( A_n = \{x \in \mathbb{R} | 2n < x \leq 2n + 2\} \)\( B_n = \{x \in \mathbb{R} | 2n + 1 < x \leq 2n + 3\} \)Então:
Exercício 22
(PUC – SP) Se 0 < 𝑥 < 1, qual dos números abaixo é maior que 𝑥?
Exercício 21
\( A = \{x | x \in \mathbb{R} \text{ e } 0 < x < 2\} \) e \( B = \{x | x \in \mathbb{R} \text{ e } -3 \leq x \leq 1\} \), então o conjunto \( (A \cup B) - (A \cap B) \) é:Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática - Tema e Metas: Conjuntos Numéricos e Funções. 2. ed. São Paulo: Atual, 1988.
Exercício 20
Três amigos trabalham numa mesma empresa, em turnos distintos. Um trabalha das 7h às 15h, outro das 9h às 17h e o terceiro das 11h às 19h. Em qual intervalo de tempo esses amigos trabalham juntos?
Exercício 19
\( A = \{x \in \mathbb{R} | -1 \leq x \leq 1\} \), \( B = \{y \in \mathbb{R} | y < 0\} \), \( C = \{z \in \mathbb{R} | z > 0\} \), onde \( \mathbb{R} \) é o conjunto dos números reais, podemos afirmar que \( A \cap B \cap C \) e \( A \cup B \cup C \) são respectivamente iguais a:
Exercício 18
(UFPR) Dados os conjuntos \( A = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 2\} \) e \( B = \{x \in \mathbb{R} \mid x \leq 2\} \), onde \( \mathbb{R} \) representa o conjunto dos números reais, é correto afirmar que:
Exercício 17
(UFSC) Dados \( A = [2, \infty[ \), \( B = (-\infty, -1) \cup [1, \infty) \) e \( C = [-2, 3) \). Determine a soma dos números associados às afirmativas verdadeiras.
Exercício 16
(UEM – PR) Sejam os conjuntos: \( \mathbb{N} \), dos números naturais, \( \mathbb{Z} \), dos números inteiros e \( \mathbb{Q} \), dos números racionais. Assinale o que for correto em relação aos seguintes conjuntos:\( A = \{x \in \mathbb{N} \mid 3 \leq x \leq 10\} \)\( B = \{x \in \mathbb{Z} \mid x \in \mathbb{N}\} \)\( C = \{x \in \mathbb{Q} \mid 3 \leq x \leq 10\} \)
Exercício 15
(UEG-GO) Dados os conjuntos \( A = \{x \in \mathbb{R} \mid -2 \leq x \leq 4\} \) e \( B = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\} \), a intersecção entre eles é dada pelo conjunto:
Exercício 14
Dados os conjuntos 𝐴 e 𝐵, representados na reta real, encontre 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵 e 𝐴 − 𝐵. Dê a resposta em colchetes e notação de conjunto (ou desigualdades).
Exercício 13
Dê exemplos de dois intervalos cuja intersecção seja um conjunto:a) Com apenas um elemento;b) Vazio.Fonte: MACHADO, N. J. (1988). Matemática por Assunto. Vol. 1. São Paulo: Scipione
Exercício 12
Sendo \( A = [0, 3[ \) e \( B = ]2, 5[ \), determine \( C_A^B \).
Exercício 11
Efetue as operações graficamente e dê as respostas utilizando a mesma notação do exercício:a) \( \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq \pi\} \cup \{x \in \mathbb{R} \mid 3 \leq x \leq 5\} \)b) \( \{x \in \mathbb{R} \mid x > e\} \cup \{x \in \mathbb{R} \mid x < e\} \)c) \( \{x \in \mathbb{R} \mid 3 < x \leq 4\} - \{x \in \mathbb{R} \mid x \leq 3{,}5\} \)d) \( ]2, 4[ - ]2, 5[ \)e) \( [0, 2] - [5, 6[ \)f) \( \mathbb{R} - [1, +\infty[ \)g) \( \mathbb{R} - ]-\infty, 3] \)h) \( \mathbb{R} - [-1, 1] \)
Exercício 10
Efetue as operações graficamente e dê as respostas utilizando a mesma notação do exercício:a) \( [-1, \sqrt{3}[ \cap [\sqrt{2}, 3[ \)b) \( [-3, 10] \cup [5, 13[ \)c) \( ]-\infty, 0] \cap [0, 5[ \)d) \( ]-1, 8] \cup ]8, 15] \)e) \( \{x \in \mathbb{R} \mid x \leq -1\} \cap \{x \in \mathbb{R} \mid x > -1\} \)f) \( \{x \in \mathbb{R} \mid x < 2 \text{ ou } x \geq 3\} \cap \{x \in \mathbb{R} \mid x \leq 3\} \)g) \( \{x \in \mathbb{R} \mid x > -5 \text{ e } x \neq 0\} \cap \{x \in \mathbb{R} \mid x < 1\} \)h) \( \{x \in \mathbb{R}_+ \mid x < 3\} \cup \{x \in \mathbb{R} \mid x < 0 \text{ ou } x = 3\} \)
Exercício 9
(MACK) Se designarmos por \( [3, 4] \) o intervalo fechado em \( \mathbb{R} \), de extremidades 3 e 4, é correto escrever:
Exercício 8
(FUVEST – SP) Se \( -4 < x < -1 \) e \( 1 < y < 2 \), então \( x \cdot y \) e \( \frac{2}{x} \) estão no intervalo:
Exercício 7
(PUC-SP) Se \( -2 \leq x \leq 6 \) e \( 3 \leq y \leq 9 \), então \( x \cdot y \) está entre:
Exercício 6
(PUC-RS) A determinação por compreensão do conjunto 𝐴 = [𝑎, 𝑏] é:
Exercício 5
Uma panela contendo uma barra de gelo a -40ºC é colocada sobre a chama de um fogão. Nessas condições, o gráfico abaixo nos mostra a evolução de temperatura (T) da água em função do tempo (t).Escreva sob a forma de colchetes os intervalos onde:a) A temperatura em que temos só água no estado sólido;b) O tempo em que temos só água no estado sólido;c) A temperatura em que temos água no estado sólido e líquido;d) O tempo em que temos água no estado sólido e líquido;e) A temperatura em que temos água no estado líquido;f) O tempo em que temos água no estado líquido;g) A temperatura em que temos somente líquido.Fonte: OLIVEIRA, A. L., MACHADO, A. S., LAUDARES, J. B., ISE, K., FERREIRA, S. F. (1997). Funções – Para Escolas Técnicas Industriais e Centros de Educação Tecnológica.Curitiba. Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná
Exercício 4
Represente os intervalos reais em colchetes, notação de conjuntos e na reta real:j) o intervalo aberto de extremos -1 e 2k) o intervalo semi-aberto à esquerda de extremos 1 e 5l) o intervalo semi-aberto à direita de extremos \( -\sqrt{3} \) e \( -\sqrt{2} \)
Exercício 3
Represente os intervalos reais em colchetes, notação de conjuntos e na reta real:a) Maiores que -1 e menores que 5;b) Não menores que 1;c) Não menores que \( -\sqrt{2} \) e menores que \( 0 \)d) Menores que 𝜋 ;e) Positivos;f) Negativosg) Negativos maiores que -2;h) Positivos não maiores que 3.
Exercício 2
a) \( [2, 7[ \)b) \( ]-5, 1[ \)c) \( ]0, \sqrt{2} + 1] \)d) \( \{x \in \mathbb{R} \mid -2 \leq x < 2\} \)e) \( ]-\infty, -2] \)f) \( ]-\infty, 0[ \)g) \( \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq -2\} \)h) \( ]0{,}15; +\infty[ \)i) \( [-1, 0[ \cup ]1, +\infty[ \)j) \( ]-\infty, \frac{1}{3}[ \cup [\frac{1}{2}, +\infty[ \)k) \( ]-3, 1[ \cup [2, +\infty[ \)l) \( \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \sqrt{2}\} \)m) \( \{x \in \mathbb{R} \mid x > \pi \text{ e } x \neq 4\} \)n) \( \{x \in \mathbb{R} \mid x \leq -2 \text{ ou } -1 \leq x \leq 0\} \)o) \( \{x \in \mathbb{R} \mid x < -1 \text{ ou } x = 0\} \)p) \( \{x \in \mathbb{R} \mid -2 < x < 1 \text{ ou } x \geq 2\} \)
Exercício 1
Represente na reta os seguintes subconjuntos de ℝ:a) \( \mathbb{R}^* = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 0\} = \mathbb{R} - \{0\} \)b) \( \mathbb{R}_+ = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 0\} = [0, +\infty[ \)c) \( \mathbb{R}^*_+ = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\} = ]0, +\infty[ \)d) \( \mathbb{R}_- = \{x \in \mathbb{R} \mid x \leq 0\} = ]-\infty, 0] \)e) \( \mathbb{R}^*_- = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 0\} = ]-\infty, 0[ \)Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática - Tema e Metas: Conjuntos Numéricos e Funções. 2. ed. São Paulo: Atual, 1988.
Exercício 48
(UECE) A quantidade de números inteiros positivos \( n \) que satisfazem a desigualdade \( \frac{3}{7} < \frac{n}{14} < \frac{2}{3} \) é:
Exercício 47
(ENEM 2015) No contexto da matemática recreativa, utilizando diversos materiais didáticos para motivar seus alunos, uma professora organizou um jogo com um tipo de baralho modificado. No início do jogo, vira-se uma carta do baralho na mesa e cada jogador recebe em mãos nove cartas. Deseja-se formar pares de cartas, sendo a primeira carta a da mesa e a segunda, uma carta na mão do jogador, que tenha um valor equivalente àquele descrito na carta da mesa. O objetivo do jogo é verificar qual jogador consegue o maior número de pares. Iniciado o jogo, a carta virada na mesa e as cartas da mão de um jogador são como no esquema:Segundo as regras do jogo, quantas cartas da mão desse jogador podem formar um par com a carta da mesa?
Exercício 46
(ENEM) De forma geral, os pneus radiais trazem em sua lateral uma marcação do tipo abc/deRfg, como 185/65R15. Essa marcação identifica as medias do pneu da seguinte forma:- abc é a medida da largura do pneu, em milímetro;- de é igual ao produto de 100 pela razão entre a medida da altura (em milímetro) e a medida da largura do pneu (em milímetro);- R significa radial;- fg é a medida do diâmetro interno do pneu, em polegada.A figura ilustra as variáveis relacionadas com esses dados.O proprietário de um veículo precisa trocar os pneus de seu carro e, ao chegar em uma loja, é informado por um vendedor que há somente pneus com os seguintes códigos: 175/65R15, 175/75R15, 175/80R15, 185/60R15, 205/55R15. Analisando, juntamente com o vendedor, as opções de pneus disponíveis, concluem que o pneu mais adequado para seu veículo é o que tem menor altura. Desta forma, o proprietário do veículo deverá comprar o pneu com a marcação
Exercício 45
(UERJ) O segmento XY, indicado na reta numérica abaixo, está dividido em dez segmentos congruentes pelos pontos A, B, C, D, E, F, G, H e I.Admita que \( X \) e \( Y \) representem, respectivamente, os números \( \frac{1}{6} \) e \( \frac{3}{2} \).O ponto 𝐷 representa o seguinte número:
Exercício 44
Mostre que \( \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = 1 + \sqrt{3} \).
Exercício 43
Prove que, se \( a, b, c \) e \( d \) são racionais, \( p \) um número primo positivo e \( a + b\sqrt{p} = c + d\sqrt{p} \), então \( a = c \) e \( b = d \).
Exercício 42
(UM – SP) Os números reais 𝑥 e 𝑦 são tais que 𝑥 > 1 > 𝑦. Sejam 𝑆 = 𝑥 + 𝑦 e 𝑃 = 𝑥. 𝑦. Nestas condições:
Exercício 41
(FATEC – SP) Sejam 𝑎 e 𝑏 números irracionais. Das afirmações:I. 𝑎. 𝑏 é um número irracional;II. 𝑎 + 𝑏 é um número irracional;III. 𝑎 − 𝑏 pode ser um número racional.Pode-se concluir que:
Exercício 40
Um número racional qualquer:
Exercício 39
(UFGO) No caso de números reais, qualquer que seja o número de fatores, se o produto for positivo, podemos concluir que:
Exercício 38
(Fuvest – SP) Dos números abaixo, o que está mais próximo de \( \frac{(5{,}2)^4 \cdot (10{,}3)^3}{(9{,}9)^2} \) é:
Exercício 37
(PUC-SP) Sendo 𝑎 e 𝑏 números reais quaisquer e 𝑚 um número real diferente de zero, então a única alternativa correta é:
Exercício 36
(UFRGS) O valor numérico da expressão: \( \left(\frac{1}{2} + 1\right) \cdot \left(\frac{1}{3} + 1\right) \cdot \left(\frac{1}{4} + 1\right) \cdots \left(\frac{1}{1000} + 1\right) \) é:
Exercício 35
Com os conjuntos e os números dados, preencha a tabela a seguir com o símbolo ∈, convenientemente:
Exercício 34
Considere a reta real:Classifique em verdadeiro ou falso e assinale o que for verdadeiro:
Exercício 33
Transforme em numerais decimais os números a seguir, usando, quando necessário, valores aproximados.a) \( \frac{8}{5} \)b) \( -\frac{11}{3} \)c) \( -1 + \sqrt{2} \)d) \( 3\pi \)e) \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \)f) \( 2e \)
Exercício 32
Escreva na forma \( \frac{a}{b} \), com \( b \neq 0 \), os números reais a seguir:a) 5;b) -3;c) 0,9;d) 0,65;e) 27,6;f) 0,66666....g) 23,44444....h) 2,3485485485...
Exercício 31
Posicione o número 𝑥 na reta real, para cada situação a seguir:a) 𝑥 está situado à direita de 8 na reta real;b) 𝑥 está situado entre -5 e 3 na reta real; c) 𝑥 está situado à esquerda de -1 na reta real;d) 𝑥 é um número negativo;e) 𝑥 é um número positivo;
Exercício 30
Na figura abaixo, estão representados geometricamente os números reais 0, 𝑥, 𝑦 e 1. Qual a posição do número 𝑥. 𝑦? Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções,Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 29
Calcule as operações a seguir e utilize a notação científica para a resposta:a) \( 0{,}000002 \times 0{,}036 \)b) \( 60000 \div 0{,}003 \)c) \( (0{,}0002)^4 \)d) \( 8{,}7 \times 10^{-4} \times 3 \times 10^7 \)e) \( \sqrt{\frac{1254 \times 0{,}005^2}{100}} \)
Exercício 28
A velocidade da luz no vácuo é 300.000 𝑘𝑚/𝑠, ou seja, a luz percorre 300.000 𝑘𝑚 a cada segundo. A distância que a luz percorre, nessas condições, em um ano, é chamada de 1 𝑎𝑛𝑜 − 𝑙𝑢𝑧. Mostre que 1 𝑎𝑛𝑜 − 𝑙𝑢𝑧 ≅ 9,46𝑥1012 𝑘𝑚.Fonte: MACHADO, N. J. (1988). Matemática por Assunto. Vol. 1. São Paulo: Scipione.
Exercício 27
Escreva os números a seguir utilizando a notação científica:a) 6420000000;b) 0,000025;c) 220000000000;d) 0,00000000009143.
Exercício 26
Se eu quiser substituir a divisão de um número 𝑥 pelo número 20 por uma multiplicação, por qual número eu multiplicaria o 𝑥?
Exercício 25
Assinale V ou F. A representação decimal de um número racional:Fonte: MACHADO, N. J. (1988). Matemática por Assunto. Vol. 1. São Paulo: Scipione
Exercício 24
Coloque em ordem crescente e represente na reta real os números:\( \frac{1}{3} \), \( 5 \), \( 2 \), \( -\frac{11}{6} \), \( 0 \), \( e \), \( -\sqrt{3} \), \( -\frac{20}{9} \), \( \pi \), \( 1 \), \( \sqrt{2} \), \( \frac{1000}{1001} \)
Exercício 23
Classifique em V (verdadeiro) ou F (falso) e assinale as verdadeiras:
Exercício 22
Classifique em V (verdadeiro) ou F (falso) e assinale as verdadeiras:
Exercício 21
(Fuvest – SP) Sejam 𝑎 e 𝑏, o 𝑚𝑑𝑐 e o 𝑚𝑚𝑐 de 360 e 300, respectivamente. Então o produto 𝑎. 𝑏, vale?
Exercício 20
(UFGO) Se os números 𝑎 e 𝑏 são tais que 𝑎 é um número par e 𝑏 é um número ímpar então, com relação a 𝑚𝑚𝑐(𝑎, 𝑏), podemos afirmar que:
Exercício 19
(FOC – SP) Se \( k \) é um número inteiro e positivo, então \( (-1)^k + (-1)^{k+1} \):
Exercício 18
(FCMSCSP) Considere o número 313131𝐴, onde 𝐴 representa o algarismo das unidades. Se esse número é divisível por 4, então o valor máximo que 𝐴 pode assumir é:
Exercício 17
(UFPI) Representando por 𝑀(𝑛) o conjunto dos múltiplos de um inteiro 𝑛 qualquer, pode-se afirmar que se 𝑎 e 𝑏 são inteiros e 𝑀(𝑎) ∩ 𝑀(𝑏) = 𝑀(𝑎. 𝑏), então:
Exercício 16
(Fuvest – SP) O número 143 é:
Exercício 15
Sendo 𝑎 e 𝑏 dois números inteiros, responda:a) 𝐷(𝑎) e 𝐷(𝑏) podem ser disjuntos?b) Que nome se dá a um inteiro 𝑚 tal que 𝐷(𝑎) ∩ 𝐷(𝑏) = 𝐷(𝑚)?c) Quando 𝐷(𝑎) ∩ 𝐷(𝑏) = {−1,1}, qual é a relação existente entre 𝑎 e 𝑏?d) Em que caso ocorre 𝑀(𝑎) ⊂ 𝑀(𝑏)?e) Em que caso ocorre 𝑀(𝑎) ∩ 𝑀(𝑏) = 𝑀(𝑎. 𝑏)?f) Que nome se dá a um inteiro 𝑛 tal que 𝑀(𝑎) ∩ 𝑀(𝑏) = 𝑀(𝑛)?Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993
Exercício 14
Sendo 𝑎 e 𝑏 dois números inteiros positivos, é possível mostrar que sempre vale a relação 𝑀𝐷𝐶(𝑎, 𝑏). 𝑀𝑀𝐶(𝑎, 𝑏) = 𝑎. 𝑏. Com base nesse fato, encontre dois números 𝑥 e 𝑦, primos entre si, cujo 𝑀𝑀𝐶 seja 60.Fonte: MACHADO, N. J. (1988). Matemática por Assunto. Vol. 1. São Paulo: Scipione
Exercício 13
Sendo 𝑎 e 𝑏 dois números inteiros, o conjunto 𝑀(𝑎) ∩ 𝑀(𝑏) é formado pelos múltiplos comuns de 𝑎 e 𝑏. O menor número positivo entre os elementos desse conjunto é o mínimo múltiplo comum de 𝑎 e 𝑏, representado por 𝑀𝑀𝐶(𝑎, 𝑏). Sendo assim, determine:a) 𝑀(3) ∩ 𝑀(9) e 𝑀𝑀𝐶(3,9);b) 𝑀(4) ∩ 𝑀(5) e 𝑀𝑀𝐶(4, 5).Fonte: MACHADO, N. J. (1988). Matemática por Assunto. Vol. 1. São Paulo: Scipione.
Exercícios 12
Quando o máximo divisor comum de dois números inteiros positivos 𝑎 e 𝑏 é 1, então 𝑎 e 𝑏 são chamados números primos entre si. Verifique se são primos entre si.a) 5 e 21;b) 9 e 15.Fonte: MACHADO, N. J. (1988). Matemática por Assunto. Vol. 1. São Paulo: Scipione
Exercício 11
Sendo 𝑎 e 𝑏 dois números inteiros, o conjunto 𝐷(𝑎) ∩ 𝐷(𝑏) é formado pelos divisores positivos comuns de 𝑎 e 𝑏. O maior elemento positivo de 𝐷(𝑎) ∩ 𝐷(𝑏) é chamado máximo divisor comum de 𝑎 e 𝑏 e é representado por 𝑀𝐷𝐶(𝑎, 𝑏). Desta forma encontre:a) 𝐷(6) ∩ 𝐷(12) e 𝑀𝐷𝐶(6,12);b) 𝐷(5) ∩ 𝐷(7) e 𝑀𝐷𝐶(5,7);c) 𝐷(6) ∩ 𝐷(15) e 𝑀𝐷𝐶(6,15).
Exercício 10
Determine os elementos dos seguintes subconjuntos de ℤ, sendo 𝐷(𝑛) o conjunto dos divisores de 𝑛 e 𝑀(𝑛) o conjunto dos múltiplos de 𝑛.a) 𝐷(15);b) 𝐷(−12);c) 𝐷(−18) ∩ 𝐷(10);d) 𝑀(5);e) 𝑀(−6);f) 𝑀(−8) ∩ 𝑀(6);
Exercício 9
Sejam os conjuntos \( A = \{x \in \mathbb{Z} \mid -2 < x \leq 3\} \) e \( B = \{x \in \mathbb{N} \mid x^2 < 25\} \). Encontre \( (A \cup B) - (A \cap B) \)
Exercício 8
(UF-BA) Dados os conjuntos \( A = \{x \in \mathbb{Z} \mid -2 < x \leq 1\} \), \( B = \{x \in \mathbb{Z} \mid -3 \leq x < 1\} \), classifique em V (verdadeiro) ou F (falso) as afirmações à seguir. Assinale as verdadeiras
Exercício 7
Assinale as proposições verdadeiras:Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 6
a) \( \mathbb{Z}_+ \cap \mathbb{Z}_- \)b) \( \mathbb{Z}^*_+ \cup \mathbb{Z}^*_- \)c) \( \mathbb{Z} - \{0\} \)d) \( \mathbb{Z} - \mathbb{N} \)Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática - Tema e Metas: Conjuntos Numéricos e Funções. 2. ed. São Paulo: Atual, 1988.
Exercício 5
a) \( -2 \) ____ \( \mathbb{Z}^*_- \)b) \( +5 \) ____ \( \mathbb{Z}_+ \)c) \( -(−5)^7 \) ____ \( \mathbb{Z}_+ \)d) \( 0 \) ____ \( \mathbb{Z}^*_+ \)e) \( -200 \) ____ \( \mathbb{Z}_- \)f) \( ((-10)^3)^4 \) ____ \( \mathbb{Z}^*_+ \)g) \( -5^2 \) ____ \( \mathbb{Z}_+ \)h) \( -\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} \) ____ \( \mathbb{Z} \)
Exercício 4
Um subconjunto 𝑋 de números naturais contém 12 múltiplos de 4, 7 múltiplos de 6, 5 múltiplos de 12 e 8 números ímpares. Qual é o número de elementos de 𝑋?Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 3
Seja o conjunto 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ|2 ≤ 𝑥 ≤ 35, 𝑥 é múltiplo de 2 e 𝑥 é múltiplo de 5}. Qual é o número de elementos de 𝐴?
Exercício 2
Quantos são os elementos do conjunto {𝑥 ∈ ℕ|10 ≤ 𝑥 ≤ 1000}?
Exercício 1
Determine, relacionando os elementos, os seguintes subconjuntos:a) 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ|𝑥 < 6};b) 𝐵 = {𝑥 ∈ ℤ+∗|𝑥 ≤ 6};c) 𝐶 = {𝑥 ∈ ℤ∗|𝑥 ≥ −2};d) 𝐷 = {𝑥 ∈ ℕ|5 < 𝑥 ≤ 12};e) 𝐸 = {𝑥 ∈ ℤ−| − 5 ≤ 𝑥 ≤ 9};f) 𝐹 = {𝑥 ∈ ℕ|4 < 𝑥 < 6};g) 𝐺 = {𝑥 ∈ ℤ−∗|𝑥 ≤ 3};h) 𝐻 = {𝑥 ∈ ℤ−|𝑥 ≥ 2};
Exercício 44
Considerando os conjuntos 𝐴, 𝐵 e 𝐶, representados na figura, e sabendo que:𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 24𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 4𝑛(𝐵 ∪ 𝐶) = 16𝑛(𝐴 − 𝐶) = 11𝑛(𝐵 − 𝐶) = 10, calcule:a) 𝑛(𝐴 − 𝐵);b) 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶);c) 𝑛(𝐵 − (𝐶 ∪ 𝐴));d) 𝑛((𝐴 ∩ 𝐵) − 𝐶);e) 𝑛(𝐵 − (𝐴 ∩ 𝐵)).Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 43
Se 𝐴 = {5. 𝑛|𝑛 ∈ ℕ} e B= {𝑛 ∈ ℕ|𝑛 é 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 90}, encontre o número de elementos de 𝐴 ∩ 𝐵.
Exercício 42
Sendo 𝐴, 𝐵, e 𝐶 conjuntos finitos, estabeleça uma fórmula para calcular 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶).Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 41
Sejam 𝐴 e 𝐵 dois conjuntos. O conjunto 𝐵 tem 10 elementos, 𝐴 ∩ 𝐵 tem 6 elementos e 𝐴 ∪ 𝐵 tem 15 elementos. Quantos elementos tem o conjunto A?
Exercício 40
Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei, 20 jogam vôlei e xadrez, 22 jogam xadrez e tênis, 18 jogam vôlei e tênis, 11 jogam as três modalidades. O número de pessoas que jogam xadrez é igual ao número de pessoas que jogam tênis. Pergunta-se:a) Quantos jogam tênis e não jogam vôlei?b) Quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei?c) Quantos jogam vôlei e não jogam xadrez?Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 39
Um grupo de 4 pessoas será formado, escolhendo-se entre três homens (F, G e H) e quatro mulheres (W, X, Y e Z). O grupo deverá ter pelo menos 2 homens. As seguintes condições deverão ser respeitadas:• F se recusa a trabalhar com Y;• G se recusa a trabalhar com W;• Y se recusa a trabalhar com Z;a) Se Y pertencer ao grupo, quais serão os outros membros?b) Classifique em V ou F e assinale as verdadeiras:Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática na escola do 2º grau. São Paulo: Atual, 1996
Exercício 38
De todos os empregados de uma empresa, 40% optaram por ter o plano de saúde oferecido. A empresa tem 3 sedes: uma em São Paulo, uma em Minas Gerais e outra em Santa Catarina. Sabe-se que 50% dos empregados trabalham em São Paulo e 20% em Minas Gerais. Ainda, 60% dos empregados de São Paulo optaram pelo plano e 20% dos de Minas Gerais também o fizeram. Qual o percentual de empregados de Santa Catarina que optaram pelo plano?
Exercício 37
O tipo sanguíneo de uma pessoa é classificado segundo a presença no sangue dos antígenos 𝐴 e 𝐵. Podemos ter:Tipo 𝐴: pessoas que tem só o antígeno 𝐴;Tipo 𝐵: pessoas que tem só o antígeno 𝐵;Tipo 𝐴𝐵: pessoas que tem os antígenos 𝐴 e 𝐵;Tipo O: pessoas que não tem 𝐴 nem 𝐵.Em 55 amostras de sangue, observamos que 20 apresentam o antígeno 𝐴, 12 apresentam 𝐵 e 7 apresentam ambos os antígenos. Quantas amostras são de:a) Sangue tipo 𝐴𝐵?b) Sangue tipo 𝐴?c) Sangue tipo 𝐵?d) Sangue tipo 𝑂?Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática - Tema e Metas: Conjuntos Numéricos e Funções. 2. ed. São Paulo: Atual, 1988.
Exercício 36
Se os conjuntos 𝐴, 𝐵 e 𝐸 são tais que 𝐴 ∪ 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, 𝐴 ∩ 𝐵 = {4, 5}, 𝐸 − 𝐵 = {1, 2}, 𝐵 − 𝐴 = {6, 7}, 𝐸 ∩ 𝐵 = ∅ e 𝐸 ⊂ 𝐴, encontre 𝐶𝐴𝐸.Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Exercício 35
Sendo 𝐴 e 𝐵 subconjuntos quaisquer de um conjunto universo 𝑈, classifique em V (verdadeiro) ou F (falso) e assinale as que forem verdadeiras:Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática - Tema e Metas: Conjuntos Numéricos e Funções. 2. ed. São Paulo: Atual, 1988.
Exercício 34
Classifique em verdadeiro ou falso, supondo que 𝐴 e 𝐵 são subconjuntos quaisquer de um universo 𝑈.Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática na escola do 2º grau. São Paulo: Atual, 1996.
Exercício 33
Dados 𝐴 = {5, 6, 7, 8}, 𝐵 = {5, 6, 7, 8, 9} e 𝐶 = {6, 7, 8}, encontre:a) 𝐶𝐵𝐴;b) 𝐶𝐵𝐶;c) 𝐶𝐴𝐶.
Exercício 32
Sombreie os conjuntos indicados nos respectivos diagramas de Venn:a) (𝑋 − 𝑌) ∪ (𝑌 − 𝑋);b) 𝑋 − (𝑌 ∪ 𝑍)
Exercício 31
Dados 𝐴 = {2, 3, 4, 5}, 𝐵 = {2, 3, 4} e 𝐶 = {0, 1, 2, 3}, encontre:a) 𝐴 − 𝐵;b) 𝐴 − 𝐶;c) 𝐵 − 𝐶;d) (𝐴 ∩ 𝐵) − 𝐶;e) (𝐴 − 𝐶) ∩ (𝐵 − 𝐶);f) 𝐶 − ∅;g) (𝐴 ∪ 𝐶) − (𝐵 ∪ 𝐶);
Exercício 30
Dados os conjuntos 𝐴 = {1, 2, 3}, 𝐵 = {3, 4} e 𝐶 = {1, 2, 4}, determine o conjunto 𝑋 tal que: 𝑋 ∪ 𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐶 e 𝑋 ∩ 𝐵 = ∅.Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 29
Considere os conjuntos:𝐾 = 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑖𝑙á𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠;𝑃 = {𝑥 ∈ 𝐾|𝑥 𝑡𝑒𝑚 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 2 𝑎 2 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑠};𝐿 = {𝑥 ∈ 𝐾|𝑥 𝑡𝑒𝑚 4 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑟𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠};𝑅 = {𝑥 ∈ 𝐾|𝑥 𝑡𝑒𝑚 4 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑡𝑜𝑠};𝑄 = {𝑥 ∈ 𝐾|𝑥 𝑡𝑒𝑚 4 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑟𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒 2 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑡𝑜𝑠};Determine os conjuntos:a) 𝐿 ∩ 𝑃;b) 𝑅 ∩ 𝑃;c) 𝐿 ∩ 𝑅;d) 𝑄 ∩ 𝑅;e) 𝐿 ∩ 𝑄;f) 𝑃 ∪ 𝑄;Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Exercício 28
Supondo 𝐴 e 𝐵 conjuntos quaisquer, classifique em V (verdadeiro) ou F (falso) as afirmações a seguir:
Exercício 27
Represente em diagrama de Venn os conjuntos 𝑋, 𝑌 e 𝑍, satisfazendo as condições a seguir:𝑋 ∩ 𝑌 = ∅;𝑋 ∩ 𝑍 = ∅;𝑌 ∩ 𝑍 = ∅.
Exercício 26
Sendo 𝐴 e 𝐵 conjuntos quaisquer, determine:a) 𝐴 ∩ ∅;b) 𝐴 ∪ ∅;c) 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ ∅);d) 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ ∅);e) 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ ∅);f) (𝐴 ∩ ∅) ∪ (𝐵 ∪ ∅);Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática na escola do 2º grau. São Paulo: Atual, 1996.
Exercício 25
Considerando 𝑥 ∈ ℕ, 𝑀(𝑥), múltiplos de 𝑥 e 𝐷(𝑥), divisores de 𝑥, encontre:a) 𝑀(5) ∩ 𝐷(40);b) 𝑀(3) ∩ 𝑀(6);c) 𝐷(72) ∩ 𝐷(80);
Exercício 24
Observe o diagrama e encontre:a) 𝐴 ∩ 𝐵;b) 𝐴 ∩ 𝐶;c) 𝐵 ∩ 𝐶;d) 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶;e) 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶);f) (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐶;
Exercício 23
Dados os conjuntos 𝑋, 𝑌 e 𝑍, representados no diagrama de Venn, pinte cada conjunto solicitado a seguir:a) 𝑋 ∪ 𝑌 ∪ 𝑍;b) 𝑋 ∪ 𝑌;c) 𝑋 ∪ 𝑍;d) 𝑌 ∪ 𝑍;e) 𝑋 ∩ 𝑌 ∩ 𝑍;f) 𝑋 ∩ 𝑌;g) 𝑋 ∩ 𝑍;h) 𝑌 ∩ 𝑍;i) (𝑋 ∪ 𝑌) ∩ 𝑍;j) (𝑋 ∩ 𝑌) ∪ 𝑍;
Exercício 22
Dados os conjuntos 𝐴 = {7, 10, 17, 20, 27}, 𝐵 = {7, 17, 37} e 𝐶 = {10, 20, 30},determine:a) 𝐴 ∪ 𝐵;b) 𝐴 ∩ 𝐵;c) 𝐴 ∪ 𝐶;d) 𝐴 ∩ 𝐶;e) 𝐵 ∪ 𝐶;f) 𝐵 ∩ 𝐶;
Exercício 21
Sendo 𝐴 = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}, assinale as alternativas verdadeiras:Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática - Tema e Metas: Conjuntos Numéricos e Funções. 2. ed. São Paulo: Atual, 1988
Exercício 20
Sendo:𝐴 = {𝑥|𝑥 é 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 2 𝑒 10}, 𝐵 = {𝑥|𝑥 é 𝑎𝑙𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑑𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 573} e 𝐶 = {𝑥|𝑥 é 𝑎𝑙𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑑𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 999375}, classifique em V (verdadeiro) ou F (falso) e assinale os itens verdadeiros:
Exercício 19
Obtenha os possíveis conjuntos 𝑋, que satisfazem {2, 3, 5} ⊂ 𝑋 ⊂ {1, 2, 3, 4, 5}
Exercício 17
Encontre quantos são os subconjuntos de 𝐴 = {𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝛿, 𝜆}.
Exercício 16
Assinale os itens que são verdadeiros (V):Fonte: Iezzi, Gelson, e Murakami, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar, Volume 1: Conjuntos e Funções. 9ª edição. São Paulo: Editora Atual, 2013.
Exercício 15
Sejam os conjuntos 𝐴,𝐵, 𝐶 𝑒 𝐷. Faça um diagrama de Venn mostrando a relação 𝐶 ⊂ 𝐴 ⊂ 𝐷 ⊂ 𝐵.
Exercícios 14
Represente num diagrama, o conjunto G, de todas as pessoas nascidas no Estado de Goiás e o conjunto B, de todos os brasileiros.
Exercício 13
Escreva o conjunto das partes do conjunto 𝐴 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}.
Exercício 12
Dado o conjunto X= {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}, encontre todos os subconjuntos de 𝑋 com dois elementos.
Exercício 11
Classifique em verdadeiro ou falso e assinale os itens que são verdadeiros (V):Fonte: Machado, Antonio dos Santos. Matemática. Temas e Metas - Volume 1. 1ª edição. São Paulo: Editora Atual, 1998.
Exercício 10
Seja o conjunto 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}, classifique em V (verdadeira) ou F (falsa), cada sentença. Assinale os itens que são verdadeiros (V):
Exercício 9
Dados os conjuntos 𝐴 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} e 𝐵 = {{𝑥},{𝑦},{𝑧}, ∅}, classifique em V (verdadeiro) ou F (falso). Assinale os itens que forem verdadeiros (V):
Exercício 8
Escreva por meio de uma propriedade característica dos elementos, cada um dos conjuntos seguintes:𝐴 = {𝑃𝑎𝑟𝑎𝑛á, 𝑆𝑎𝑛𝑡𝑎 𝐶𝑎𝑡𝑎𝑟𝑖𝑛𝑎, 𝑅𝑖𝑜 𝐺𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑆𝑢𝑙};𝐵 = {𝑗𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑜,𝑗𝑢𝑛ℎ𝑜,𝑗𝑢𝑙ℎ𝑜};𝐶 = {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢};
Exercício 7
Identifique os conjuntos unitários e vazios:𝐴 = {𝑥|𝑥 é 𝑜𝑐𝑒𝑎𝑛𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑏𝑎𝑛ℎ𝑎 𝑜 𝑉𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎𝑛𝑜};𝐵 = {𝑥|𝑥. 0 = 5};𝐶 = {𝑥|𝑥 é 𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑒ç𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑎 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑡};𝐷 = {𝑥|𝑥 é 𝑚ê𝑠 𝑑𝑜 𝑎𝑛𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑒ç𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑎 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑑};𝐸 = {𝑥|𝑥 é 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠í𝑣𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑟 0};𝐹 = {𝑥|𝑥 é 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 3};
Exercício 6
Reescreva cada conjunto dando um a um os seus elementos:𝐴 = {𝑥|𝑥 é 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 8};𝐵 = {𝑥|𝑥 é 𝑢𝑚 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 18};𝐶 = {𝑥|𝑥 é 𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑒ç𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑎 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑞};𝐷 = {𝑥|𝑥 é 𝑎 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝐵𝑟𝑎𝑠𝑖𝑙};𝐸 = {𝑥|𝑥 é 𝑝𝑎í𝑠 𝑑𝑎 𝐴𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑜 𝑆𝑢𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑒ç𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑎 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 𝐵}.
Exercício 5
Dados os conjuntos 𝐴 = {𝑎, 𝑓, 𝑔, 𝑣, 𝑤, 𝑥, 𝑧}, 𝐵 = {𝑓, 𝑣}, 𝐶 = {𝑎, 𝑤, 𝑥, 𝑧} e 𝐷 = {𝑓, 𝑔, 𝑥}, classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) e assinale os itens que são verdadeiros (V).
Exercício 4
Seja 𝑈 o conjunto das letras do alfabeto, 𝐴 o conjunto das letras da palavra 𝑁𝐸𝐿𝐴 e 𝐵 o conjunto das letras da palavra 𝐶𝐴𝑁𝐸𝐿𝐴. Escreva as sentenças a seguir, usando os símbolos da Teoria dos Conjuntos:a) 𝐴 é subconjunto de 𝑈;b) 𝐵 é subconjunto de 𝑈;c) 𝐴 é subconjunto de 𝐵;d) 𝐵 não é subconjunto de 𝐴;
Exercício 3
Reescreva cada conjunto dando um a um os seus elementos:a) 𝐴 é o conjunto dos números ímpares compreendidos entre 2 e 10;b) 𝐵 é o conjunto das letras da palavra 𝑀𝐴𝑇𝐸𝑀Á𝑇𝐼𝐶𝐴;c) 𝐶 é o conjunto das consoantes da palavra 𝑀𝐴𝑇𝐸𝑀Á𝑇𝐼𝐶𝐴 ;d) 𝐷 é o conjunto dos meses do ano que tem 31 dias.
Exercício 2
Sendo 𝐴 = {3, 8, 9} e 𝐵 = {2, 4}, escreva as sentenças a seguir usando os símbolos da Teoria dos Conjuntos:a) 8 pertence a 𝐴;b) 9 não pertence a 𝐵;c) 4 pertence a 𝐵;d) 𝐴 não é igual à 𝐵.
Exercício 1
Sendo 𝐴 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} e 𝐵 = {𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ}, identifique as afirmações a seguir como verdadeiras ou falsas e assinale os itens que são verdadeiros (V):