Conjuntos
Exercícios 5 a 8
Exercícios 5 a 8
Neste vídeo, mergulhe no mundo dos conjuntos resolvendo comigo problemas, desde os mais simples até os desafiadores! Aprenda de forma detalhada e passo a passo, desde conceitos básicos até questões complexas. Ideal para estudantes buscando uma compreensão sólida e prática. Vamos desvendar os mistérios dos conjuntos juntos.
Material de Apoio
Notação de Conjuntos:
Formas de Representar um Conjunto:
• Por Extensão (Enumeração):
Lista-se todos os elementos entre chaves.
Exemplo: A = {1, 2, 3, 4, 5}
• Por Compreensão (Propriedade):
Descreve-se a propriedade que caracteriza os elementos.
Exemplo: A = {x | x é número natural e x < 6}
Lê-se: "A é o conjunto dos x tal que x é número natural e x menor que 6"
• Por Diagrama de Venn:
Representação gráfica com círculos ou elipses
Número de Elementos de um Conjunto
Definição:
O número de elementos (ou cardinalidade) de um conjunto é a quantidade de
elementos distintos que ele possui.
Notação:
• n(A) ou |A| ou #A = número de elementos do conjunto A
Tipos de Conjuntos:
- Conjunto Finito:
Possui quantidade limitada de elementos.
• Exemplo: A = {2, 4, 6, 8} → n(A) = 4
- Conjunto Infinito:
Possui quantidade ilimitada de elementos.
• Exemplo: ℕ = {0, 1, 2, 3, ...} → n(ℕ) = ∞
- Conjunto Vazio:
Não possui elementos.
• Exemplo: ∅ = { } → n(∅) = 0
- Conjunto Unitário:
Possui apenas um elemento.
• Exemplos: {𝜋}, {𝑜𝑐𝑒𝑎𝑛𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑏𝑎𝑛ℎ𝑎 𝑜 𝐵𝑟𝑎𝑠𝑖𝑙}
Subconjuntos
Definição:
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B quando todos os elementos de A
também pertencem a B.
Notação:
• A ⊂ B → A é subconjunto próprio de B (A está contido em B, mas A ≠ B)
• A ⊆ B → A está contido em B ou é igual a B
• A ⊄ B → A não é subconjunto de B
Condição:
A ⊆ B significa que: se x ∈ A, então x ∈ B
Tipos de Subconjuntos:
- Subconjunto Próprio (⊂):
• A é subconjunto de B, mas A ≠ B
• Exemplo: {1, 2} ⊂ {1, 2, 3}
- Subconjunto Impróprio (⊆):
• Todo conjunto é subconjunto dele mesmo
• Exemplo: {1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3}
- Conjunto Vazio:
• O conjunto vazio (∅) é subconjunto de qualquer conjunto
• ∅ ⊆ A (para qualquer conjunto A)
Propriedades:
- Reflexiva: A ⊆ A (todo conjunto é subconjunto de si mesmo)
- Transitiva: Se A ⊆ B e B ⊆ C, então A ⊆ C
- Antissimétrica: Se A ⊆ B e B ⊆ A, então A = B
Número de Subconjuntos:
Se um conjunto tem n elementos, ele possui 2ⁿ subconjuntos (incluindo o vazio
e ele mesmo).
- Exemplo:
• A = {a, b} tem 2² = 4 subconjuntos: ∅, {a}, {b}, {a, b}
Exemplos:
• {1, 2} ⊂ {1, 2, 3, 4}
• ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
• {vogais} ⊂ {letras do alfabeto}
Praticar Agora
Enunciado
Dados os conjuntos 𝐴 = {𝑎, 𝑓, 𝑔, 𝑣, 𝑤, 𝑥, 𝑧}, 𝐵 = {𝑓, 𝑣}, 𝐶 = {𝑎, 𝑤, 𝑥, 𝑧} e 𝐷 = {𝑓, 𝑔, 𝑥}, classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) e assinale os itens que são verdadeiros (V).
Enunciado
Reescreva cada conjunto dando um a um os seus elementos:
𝐴 = {𝑥|𝑥 é 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 8};
𝐵 = {𝑥|𝑥 é 𝑢𝑚 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 18};
𝐶 = {𝑥|𝑥 é 𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑒ç𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑎 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑞};
𝐷 = {𝑥|𝑥 é 𝑎 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝐵𝑟𝑎𝑠𝑖𝑙};
𝐸 = {𝑥|𝑥 é 𝑝𝑎í𝑠 𝑑𝑎 𝐴𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑜 𝑆𝑢𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑒ç𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑎 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 𝐵}.
Enunciado
Identifique os conjuntos unitários e vazios:
𝐴 = {𝑥|𝑥 é 𝑜𝑐𝑒𝑎𝑛𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑏𝑎𝑛ℎ𝑎 𝑜 𝑉𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎𝑛𝑜};
𝐵 = {𝑥|𝑥. 0 = 5};
𝐶 = {𝑥|𝑥 é 𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑒ç𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑎 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑡};
𝐷 = {𝑥|𝑥 é 𝑚ê𝑠 𝑑𝑜 𝑎𝑛𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑒ç𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑎 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑑};
𝐸 = {𝑥|𝑥 é 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠í𝑣𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑟 0};
𝐹 = {𝑥|𝑥 é 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 3};
Enunciado
Escreva por meio de uma propriedade característica dos elementos, cada um dos conjuntos seguintes:
𝐴 = {𝑃𝑎𝑟𝑎𝑛á, 𝑆𝑎𝑛𝑡𝑎 𝐶𝑎𝑡𝑎𝑟𝑖𝑛𝑎, 𝑅𝑖𝑜 𝐺𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑆𝑢𝑙};
𝐵 = {𝑗𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑜,𝑗𝑢𝑛ℎ𝑜,𝑗𝑢𝑙ℎ𝑜};
𝐶 = {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢};