ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO DO 1º GRAU

Estudar o sinal de f(x) = ax + b é determinar para quais valores de x a função é positiva (+), negativa (−) ou nula (0).

PASSO A PASSO

 1. Calcule a raiz (zero da função)

xᵣ = −b/a (onde f(x) = 0)

 2. Identifique o sinal de a

- a > 0 → função crescente

- a < 0 → função decrescente

 3. Monte o diagrama de sinais

CASO 1: FUNÇÃO CRESCENTE (a > 0)

Padrão: Reta sobe → /

 Diagrama de sinais:

 Interpretação:

- f(x) < 0 para x < xᵣ (à esquerda)

- f(x) = 0 para x = xᵣ (na raiz)

- f(x) > 0 para x > xᵣ (à direita)

Regra: "Antes NEGATIVO, depois POSITIVO"

CASO 2: FUNÇÃO DECRESCENTE (a < 0)

Padrão: Reta desce → \

Diagrama de sinais:

 Interpretação:

- f(x) > 0 para x < xᵣ (à esquerda)

- f(x) = 0 para x = xᵣ (na raiz)

- f(x) < 0 para x > xᵣ (à direita)

Regra: "Antes POSITIVO, depois NEGATIVO"

EXEMPLOS 

1. f(x) = 2x − 8 (a = 2 > 0)

Raiz: 2x − 8 = 0 → x = 4

Diagrama:

Resposta:

- f(x) < 0 em (−∞, 4)

- f(x) = 0 em x = 4

- f(x) > 0 em (4, +∞)

2)  f(x) = −3x + 9 (a = −3 < 0)

     Raiz: −3x + 9 = 0 → x = 3

     Diagrama:

  Resposta:

  - f(x) > 0 em (−∞, 3)

  - f(x) = 0 em x = 3

  - f(x) < 0 em (3, +∞)

TABELA RESUMO

APLICAÇÃO: RESOLVER INEQUAÇÕES

Para resolver ax + b > 0 ou ax + b < 0:

1. Calcule a raiz: xᵣ = −b/a

2. Faça o diagrama conforme o sinal de a

3. Identifique onde está + (positivo) ou − (negativo)

Exemplo: Resolver 3x − 6 > 0

- Raiz: x = 2

- a > 0: −●+

- f(x) > 0 em x > 2

- Solução: (2, +∞)

REGRA DE OURO

a > 0: Sinal muda de MENOS para MAIS (−●+)

a < 0: Sinal muda de MAIS para MENOS (+●−)

DICAS PRÁTICAS

✓ Sempre calcule a raiz primeiro: xᵣ = −b/a

✓ Olhe o sinal de a para escolher o padrão

✓ Desenhe o diagrama para visualizar

✓ Teste com um valor para confirmar

✓ Lembre: a raiz é onde a função cruza o eixo x

INEQUAÇÕES PRODUTO E QUOCIENTE

Inequações Produto

Forma: (ax + b)(cx + d) > 0 ou < 0

Método de resolução:

1. Encontre as raízes (zeros) igualando cada fator a zero

2. Marque as raízes na reta numérica

3. Analise o sinal do produto em cada intervalo

4. Selecione os intervalos que satisfazem a desigualdade

EXEMPLO: (x − 2)(x + 1) > 0

Raízes: x = 2 e x = −1

Análise de sinais:

Intervalo          | (−∞, −1) | (−1, 2) | (2, +∞)

Solução: (−∞, −1) ∪ (2, +∞) — onde o produto é positivo

Inequações Quociente

Forma: (ax + b)/(cx + d) > 0 ou < 0

Método similar ao produto, mas:

- O denominador nunca pode ser zero

- Exclua sempre o valor que anula o denominador

EXEMPLO: (x + 3)/(x − 1) ≥ 0

Valores críticos: x = −3 (zero do numerador) e x = 1 (zero do denominador)

Análise de sinais:

Intervalo          | (−∞, −3] | (−3, 1) | (1, +∞)

Solução: (−∞, −3] ∪ (1, +∞)

Atenção: O −3 está incluído (≥), mas o 1 nunca pode ser incluído (anularia denominador)