Exercícios 29 a 31

União de Conjuntos (∪)
Definição: A união de dois conjuntos 𝐴 e 𝐵 é o conjunto formado por todos os 
elementos que pertencem a 𝐴 𝒐𝒖 𝑎 𝐵 (ou a ambos).
Notação: 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 𝑜𝑢 𝑥 ∈ 𝐵}

Exemplo:
𝐴 = {1, 2, 3}
𝐵 = {3, 4, 5}
𝐴 ∪ 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5}

Interseção de Conjuntos (∩)
Definição: A interseção de dois conjuntos 𝐴 e 𝐵 é o conjunto formado pelos 
elementos que pertencem simultaneamente a 𝐴 𝒆 a 𝐵.
Notação: 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∈ 𝐵}
Exemplo:
𝐴 = {1, 2, 3}
𝐵 = {3, 4, 5}
𝐴 ∩ 𝐵 = {3}

Diferença de Conjuntos (−)
Definição: A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto formado pelos 
elementos que pertencem a A mas não pertencem a B.
Notação: 𝐴 − 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∉ 𝐵}
Exemplo:
𝐴 = {1, 2, 3}
𝐵 = {3, 4, 5}
𝐴 − 𝐵 = {1, 2}
𝐵 − 𝐴 = {4, 5}
Observações Importantes:
• Conjuntos disjuntos: Quando 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ (conjunto vazio)
• A união é comutativa: 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴
• A interseção é comutativa: 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴
• A diferença não é comutativa: 𝐴 − 𝐵 ≠ 𝐵 − A

Conceito Geral de Quadriláteros
Definição: Quadriláteros são polígonos que possuem quatro lados, quatro vértices 
e quatro ângulos internos.
Propriedade fundamental: A soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero 
é sempre 360°.
Trapézios
Definição
Trapézio é um quadrilátero que possui pelo menos um par de lados paralelos.
• Elementos:

• Bases: os lados paralelos (base maior e base menor)
• Laterais: os lados não paralelos
• Altura (h): distância perpendicular entre as bases
Paralelogramos
Definição
Paralelogramo é um quadrilátero que possui dois pares de lados opostos 
paralelos.
Propriedades Fundamentais
✓ Lados opostos são paralelos e congruentes (têm a mesma medida)
✓ Ângulos opostos são congruentes
✓ Ângulos consecutivos são suplementares (somam 180°)
✓ Diagonais se cruzam no ponto médio (cada diagonal divide a outra ao meio)
Todo paralelogramo é também um trapézio (possui pelo menos um par de lados 
paralelos), mas nem todo trapézio é paralelogramo.
Losango
Definição
Losango é um paralelogramo que possui todos os quatro lados congruentes
(mesma medida).
Propriedades do Losango
Herda todas as propriedades do paralelogramo, mais:
✓ Todos os lados são congruentes (l = l = l = l)
✓ Diagonais são perpendiculares (formam ângulo de 90° entre si)
✓ Diagonais são bissetrizes dos ângulos internos
Cada diagonal divide o ângulo ao meio
✓ Diagonais dividem o losango em quatro triângulos retângulos congruentes
✓ Ângulos opostos são congruentes (característica do paralelogramo)
✓ Ângulos consecutivos são suplementares
Retângulo
Definição

Retângulo é um paralelogramo que possui todos os ângulos retos (90°).
Propriedades do Retângulo
Herda todas as propriedades do paralelogramo, mais:
✓ Todos os ângulos internos medem 90°
✓ Diagonais são congruentes (têm a mesma medida)
✓ Lados opostos são paralelos e congruentes
✓ Diagonais se cruzam no ponto médio (cada diagonal divide a outra ao meio)
✓ As diagonais NÃO são necessariamente perpendiculares
Um retângulo pode ser visto como um quadrilátero com dois pares de lados 
congruentes e quatro ângulos retos.
Quadrado
Definição
Quadrado é um quadrilátero que é simultaneamente um retângulo E um losango, 
ou seja, possui todos os lados congruentes E todos os ângulos retos.
Propriedades do Quadrado
Herda TODAS as propriedades do retângulo E do losango:
✓ Todos os quatro lados são congruentes (l = l = l = l)
✓ Todos os quatro ângulos medem 90°
✓ Diagonais são congruentes (característica do retângulo)
✓ Diagonais são perpendiculares (característica do losango)
✓ Diagonais são bissetrizes dos ângulos internos
• Cada diagonal divide os ângulos de 90° em dois de 45°
✓ Diagonais dividem o quadrado em quatro triângulos retângulos isósceles 
congruentes
O quadrado é o quadrilátero mais "perfeito" - possui todas as propriedades 
especiais: lados iguais, ângulos iguais, diagonais iguais e perpendiculares.
Hierarquia dos Quadriláteros
Relações de Inclusão
Quadrado ⊂ Retângulo ⊂ Paralelogramo ⊂ Trapézio

Quadrado ⊂ Losango ⊂ Paralelogramo ⊂ Trapézio
Explicação:
• Todo quadrado é um retângulo (tem ângulos retos)
• Todo quadrado é um losango (tem lados iguais)
• Todo retângulo é um paralelogramo
• Todo losango é um paralelogramo
• Todo paralelogramo é um trapézio
• MAS as recíprocas NÃO são verdadeiras!
8. Quadro Resumo Comparativo
Propriedade           Trapézio           Paralelogramo       Losango         Retângulo         Quadrado
par de lados 
paralelos                       ✓                         ✓                        ✓                     ✓                     ✓
 

pares de lados 
paralelos                       ✗                         ✓                        ✓                     ✓                     ✓
 

Lados opostos 
congruentes                 ✗                          ✓                       ✓                      ✓                     ✓
 

Todos os lados 
congruentes                 ✗                         ✗                        ✓                      ✗                     ✓
 

Ângulos opostos 
congruentes                 ✗                         ✓                        ✓                       ✓                     ✓
 

Todos os ângulos 
retos                             ✗                         ✗                        ✗                       ✓                    ✓
 

Diagonais se 
cortam ao meio            ✗                         ✓                        ✓                        ✓                    ✓

Diagonais               
congruentes           Só isósceles               ✗                        ✗                        ✓                    ✓
                                               
Diagonais 
perpendiculares           ✗                          ✗                        ✓                       ✗                     ✓