Exercícios 36 a 38

Notação de Conjuntos
Formas de Representar um Conjunto:
• Por Extensão (Enumeração):
Lista-se todos os elementos entre chaves.
Exemplo: A = {1, 2, 3, 4, 5}
• Por Compreensão (Propriedade):
Descreve-se a propriedade que caracteriza os elementos.
Exemplo: A = {x | x é número natural e x < 6}
Lê-se: "A é o conjunto dos x tal que x é número natural e x menor que 6"
• Por Diagrama de Venn:
Representação gráfica com círculos ou elipses.

União de Conjuntos (∪)
Definição: A união de dois conjuntos 𝐴 e 𝐵 é o conjunto formado por todos os 
elementos que pertencem a 𝐴 𝒐𝒖 𝑎 𝐵 (ou a ambos).
Notação: 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 𝑜𝑢 𝑥 ∈ 𝐵}
Exemplo:
𝐴 = {1, 2, 3}
𝐵 = {3, 4, 5}
𝐴 ∪ 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5}
 

Interseção de Conjuntos (∩)
Definição: A interseção de dois conjuntos 𝐴 e 𝐵 é o conjunto formado pelos 
elementos que pertencem simultaneamente a 𝐴 𝒆 a 𝐵.
Notação: 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∈ 𝐵}
Exemplo:
𝐴 = {1, 2, 3}
𝐵 = {3, 4, 5}
𝐴 ∩ 𝐵 = {3}

Diferença de Conjuntos (−)
Definição: A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto formado pelos 
elementos que pertencem a A mas não pertencem a B.
Notação: 𝐴 − 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∉ 𝐵}
Exemplo:
𝐴 = {1, 2, 3}
𝐵 = {3, 4, 5}
𝐴 − 𝐵 = {1, 2}
𝐵 − 𝐴 = {4, 5}
Observações Importantes:
• Conjuntos disjuntos: Quando 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ (conjunto vazio)
• A união é comutativa: 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴
• A interseção é comutativa: 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴
• A diferença não é comutativa: 𝐴 − 𝐵 ≠ 𝐵 − 𝐴
 

Complementar de um Conjunto:
Definição
O complemento de um conjunto A em relação ao universo U é o conjunto de todos 
os elementos que pertencem a U, mas não pertencem a A.
Notação: A' ou Aᶜ ou U - A
Exemplo:
• Se U = {1, 2, 3, 4, 5} e A = {2, 4}
• Então A' = {1, 3, 5}
Número de Elementos de um Conjunto
Definição:

O número de elementos (ou cardinalidade) de um conjunto é a quantidade de 
elementos distintos que ele possui.
Notação:
• n(A) ou |A| ou #A = número de elementos do conjunto A
Tipos de Conjuntos:
- Conjunto Finito:
Possui quantidade limitada de elementos.
• Exemplo: A = {2, 4, 6, 8} → n(A) = 4
- Conjunto Infinito:
Possui quantidade ilimitada de elementos.
• Exemplo: ℕ = {0, 1, 2, 3, ...} → n(ℕ) = ∞
- Conjunto Vazio:
Não possui elementos.
• Exemplo: ∅ = { } → n(∅) = 0
- Conjunto Unitário:
Possui apenas um elemento.
• Exemplos: {𝜋}, {𝑜𝑐𝑒𝑎𝑛𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑏𝑎𝑛ℎ𝑎 𝑜 𝐵𝑟𝑎𝑠𝑖𝑙}
- Conjunto Universo:
O conjunto universo (representado por U ou 𝕌) é o conjunto que contém todos 
os elementos relevantes em um determinado contexto ou problema matemático.
Pode ser: Contexual: Depende do problema que está sendo analisado
Abrangente: Todos os outros conjuntos do problema são 
subconjuntos do universo
Relativo: Pode variar conforme a situação
Propriedades:
• Todo conjunto A é subconjunto do universo: A ⊆ U
• A união de qualquer conjunto com o universo é o próprio universo: A ∪ U = U
• A interseção de qualquer conjunto com o universo é o próprio conjunto: A ∩ U = A
• O complementar do universo é o conjunto vazio: U' = ∅
• O complementar do conjunto vazio é o universo: ∅' = U

Exemplos:
Problema com números naturais menores que 10: U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Problema com vogais: U = {a, e, i, o, u}
Problema com cartas de baralho: U = {todas as 52 cartas do baralho}
Propriedades Importantes:
- Elementos não se repetem:
o {1, 2, 2, 3} tem 3 elementos (não 4)
- Para união de conjuntos:
o n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
- Para conjuntos disjuntos:
o Se A ∩ B = ∅, então n(A ∪ B) = n(A) + n(B)
4.5 Exemplos:
• A = {a, e, i, o, u} → n(A) = 5
• B = {x | x é par e 0 < x < 10} = {2, 4, 6, 8} → n(B) = 4
• C = { } → n(C) = 0
 

Subconjuntos
Definição:
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B quando todos os elementos de A 
também pertencem a B.
Notação:
• A ⊂ B → A é subconjunto próprio de B (A está contido em B, mas A ≠ B)
• A ⊆ B → A está contido em B ou é igual a B
• A ⊄ B → A não é subconjunto de B
Condição:
A ⊆ B significa que: se x ∈ A, então x ∈ B
Tipos de Subconjuntos:
- Subconjunto Próprio (⊂):
• A é subconjunto de B, mas A ≠ B

• Exemplo: {1, 2} ⊂ {1, 2, 3}
- Subconjunto Impróprio (⊆):
• Todo conjunto é subconjunto dele mesmo
• Exemplo: {1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3}
- Conjunto Vazio:
• O conjunto vazio (∅) é subconjunto de qualquer conjunto
• ∅ ⊆ A (para qualquer conjunto A)
Propriedades:
- Reflexiva: A ⊆ A (todo conjunto é subconjunto de si mesmo)
- Transitiva: Se A ⊆ B e B ⊆ C, então A ⊆ C
- Antissimétrica: Se A ⊆ B e B ⊆ A, então A = B
Número de Subconjuntos:
Se um conjunto tem n elementos, ele possui 2ⁿ subconjuntos (incluindo o vazio 
e ele mesmo).
- Exemplo:
• A = {a, b} tem 2² = 4 subconjuntos: ∅, {a}, {b}, {a, b}
Exemplos:
• {1, 2} ⊂ {1, 2, 3, 4}
• ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
• {vogais} ⊂ {letras do alfabeto}