Região 02 · Conjuntos Numéricos
Exercícios 1 a 3
Neste vídeo, resolvo exercícios sobre os conjuntos numéricos, desde os mais fáceis até os mais avançados. Tem uma variedade de exercícios selecionados de livros didáticos, questões de vestibulares, concursos e Enem. Cada problema é abordado com explicações detalhadas para garantir que você possa acompanhar e compreender cada passo do processo. Se você está se preparando para exames ou simplesmente quer aprimorar suas habilidades matemáticas, aqui ofereço uma ótima oportunidade de aprender e praticar.
Teoria da aula
Material de apoio
Conjuntos Numéricos
Conceito Fundamental
Os conjuntos numéricos são agrupamentos de números que compartilham
propriedades comuns e seguem regras específicas de operação. Esses conjuntos
foram desenvolvidos ao longo da história da matemática para atender diferentes
necessidades práticas e teóricas, desde a simples contagem até a resolução de
equações complexas.
Números Naturais (ℕ)
Definição: O conjunto dos números naturais é formado pelos números utilizados
para contagem e ordenação.
Representação: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Observação: Alguns autores excluem o zero deste conjunto, representando como
ℕ* = {1, 2, 3, 4, ...}
Propriedades principais:
• Conjunto infinito (não possui último elemento)
• Possui primeiro elemento (zero ou um, dependendo da definição)
• Fechado para adição e multiplicação (a soma ou produto de dois naturais é
sempre um natural)
• Não é fechado para subtração e divisão
Aplicações práticas:Contagem de objetos, numeração de páginas, representação
de quantidades discretas.
Números Inteiros (ℤ)
Definição: O conjunto dos números inteiros estende os naturais incluindo os
números negativos e o zero.
Representação: ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Subconjuntos importantes:
• ℤ* = inteiros não nulos (excluindo o zero)
• ℤ₊ = inteiros não negativos (números naturais)
• ℤ₋ = inteiros não positivos {..., -3, -2, -1, 0}
Propriedades principais:
• Conjunto infinito em ambas as direções
• Fechado para adição, subtração e multiplicação
• Não é fechado para divisão
• Permite resolver equações do tipo x + a = b para quaisquer inteiros a e b
Relação com ℕ: ℕ ⊂ ℤ (os naturais estão contidos nos inteiros)
Múltiplos de um Número
Definição: Um número natural a é múltiplo de um número natural b quando existe
um número natural 𝑘 tal que 𝑎 = 𝑏 × 𝑘 .
Em outras palavras, os múltiplos de um número são obtidos multiplicando esse
número por 0, 1, 2, 3, 4, ...
Exemplos:
Múltiplos de 3: M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ...}
• 3 = 3 × 1
• 6 = 3 × 2
• 9 = 3 × 3, e assim por diante
• Múltiplos de 5: M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ...}
• Múltiplos de 7: M(7) = {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, ...}
Propriedades principais:
▪ Conjunto infinito: Todo número natural possui infinitos múltiplos
▪ Zero é múltiplo de qualquer número: 0 = n × 0 para qualquer n
▪ Todo número é múltiplo de si mesmo: n = n × 1
▪ O menor múltiplo positivo de um número é ele próprio
Como verificar se 𝑎 é múltiplo de 𝑏:
a) Divida 𝑎 por b
b) Se o resultado for um número natural (divisão exata), então 𝑎 é múltiplo de 𝑏
Exemplo: 24 é múltiplo de 6? → 24 ÷ 6 = 4 ✓ (sim, pois 4 é natural)
Representação: Usamos M(n) para indicar o conjunto dos múltiplos de n.
Divisores de um Número
Definição: Um número natural 𝑑 é divisor de um número natural 𝑛 quando a
divisão de n por d é exata, isto é, quando existe um número natural 𝑞 tal que
𝑛 = 𝑑 × 𝑞 .
Em outras palavras, 𝑑 divide 𝑛 sem deixar resto.
Exemplos:
a) Divisores de 12: D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
• 12 ÷ 1 = 12
• 12 ÷ 2 = 6
• 12 ÷ 3 = 4
• 12 ÷ 4 = 3
• 12 ÷ 6 = 2
• 12 ÷ 12 = 1
b) Divisores de 20: D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
c) Divisores de 15: D(15) = {1, 3, 5, 15}
Propriedades principais:
• Conjunto finito: Todo número natural possui uma quantidade finita de divisores
• O número 1 divide todos os números: 1 é divisor universal
• Todo número é divisor de si mesmo: 𝑛 é sempre divisor de 𝑛
• Os divisores vêm em pares: Se 𝑑 divide 𝑛, então 𝑛/𝑑 também divide 𝑛
Como encontrar todos os divisores de um número:
1. Teste todos os números naturais de 1 até o próprio número
2. Método otimizado: Teste apenas até a raiz quadrada do número, pois os divisores
aparecem em pares
Exemplo para encontrar D(36):
√36 = 6
Testamos de 1 a 6:
• 1 divide 36 → par (1, 36)
• 2 divide 36 → par (2, 18)
• 3 divide 36 → par (3, 12)
• 4 divide 36 → par (4, 9)
• 6 divide 36 → par (6, 6)
D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
Representação: Usamos D(n) para indicar o conjunto dos divisores de n.
Relação entre Múltiplos e Divisores
Reciprocidade: Se 𝑎 é múltiplo de 𝑏 , então 𝑏 é divisor de 𝑎 .
Exemplo:
15 é múltiplo de 5 ↔ 5 é divisor de 15
24 é múltiplo de 8 ↔ 8 é divisor de 24
Notação de divisibilidade: Usamos 𝑎 | 𝑏 (lê-se "𝑎 divide 𝑏") para indicar que 𝑎 é
divisor de 𝑏.
3 | 15 (3 divide 15)
7 | 49 (7 divide 49)
Diferença fundamental:
- Múltiplos: Conjunto infinito, vamos "multiplicando"
- Divisores: Conjunto finito, vamos "dividindo"
Critérios de Divisibilidade
Para facilitar a identificação de divisores, existem regras práticas:
Divisibilidade por 2: O número termina em 0, 2, 4, 6 ou 8
Exemplos: 18, 34, 100, 256
Divisibilidade por 3: A soma dos algarismos é divisível por 3
Exemplo: 126 → 1 + 2 + 6 = 9 (9 é divisível por 3) ✓
Divisibilidade por 4: Os dois últimos algarismos formam um número divisível por 4
Exemplo: 316 → 16 é divisível por 4 ✓
Divisibilidade por 5: O número termina em 0 ou 5
Exemplos: 35, 80, 125
Divisibilidade por 6: O número é divisível por 2 E por 3 simultaneamente
Exemplo: 42 (par e 4+2=6, divisível por 3) ✓
Divisibilidade por 9: A soma dos algarismos é divisível por 9
Exemplo: 729 → 7 + 2 + 9 = 18 (18 é divisível por 9) ✓
Divisibilidade por 10: O número termina em 0
Exemplos: 30, 150, 1000
Dica prática: Esses critérios agilizam a fatoração e identificação de divisores sem
necessidade de calcular divisões
Números Primos e Compostos
Número Primo: É o número natural maior que 1 que possui exatamente dois
divisores: 1 e ele mesmo.
Exemplos de primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...
Características:
2 é o único número primo par
𝐷(primo) = {1, primo}
Há infinitos números primos
Número Composto: É o número natural maior que 1 que possui mais de dois
divisores.
Exemplos de compostos: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16...
Características:
• Todo composto pode ser decomposto em fatores primos
• Possui pelo menos 3 divisores
Obervações especiais:
• O número 1 não é primo nem composto (possui apenas um divisor)
• O número 0 não entra nessa classificação
Quantidade de Divisores
Para calcular quantos divisores possui um número, podemos usar a decomposição
em fatores primos.
Método:
1. Decomponha o número em fatores primos: n = p₁^a × p₂^b × p₃^c × ...
2. Calcule: (a + 1) × (b + 1) × (c + 1) × ...
Exemplo 1: Quantos divisores tem o número 36?
36 = 2² × 3²
Quantidade de divisores = (2 + 1) × (2 + 1) = 3 × 3 = 9
D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} → confirmando 9 divisores
Exemplo 2: Quantos divisores tem 60?
60 = 2² × 3¹ × 5¹
Quantidade = (2 + 1) × (1 + 1) × (1 + 1) = 3 × 2 × 2 = 12 divisores
Aplicações Práticas
Múltiplos são úteis para:
• Problemas de periodicidade (eventos que se repetem)
• Encontrar o Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
• Determinar quando dois eventos coincidirão novamente
Exemplo: Um ônibus passa de 15 em 15 minutos. Em que momentos ele passará?
(múltiplos de 15)
Divisores são úteis para:
• Dividir quantidades em partes iguais
• Simplificação de frações
• Encontrar o Máximo Divisor Comum (MDC)
• Organizar objetos em grupos iguais
Exemplo: Tenho 24 balas. De quantas formas posso distribuí-las igualmente?
(divisores de 24)
3 exercícios desta aula
Praticar agora
Abra um exercício, responda e confira a resolução da professora.
-
Enunciado
Determine, relacionando os elementos, os seguintes subconjuntos:
a) 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ|𝑥 < 6};
b) 𝐵 = {𝑥 ∈ ℤ+∗|𝑥 ≤ 6};
c) 𝐶 = {𝑥 ∈ ℤ∗|𝑥 ≥ −2};
d) 𝐷 = {𝑥 ∈ ℕ|5 < 𝑥 ≤ 12};
e) 𝐸 = {𝑥 ∈ ℤ−| − 5 ≤ 𝑥 ≤ 9};
f) 𝐹 = {𝑥 ∈ ℕ|4 < 𝑥 < 6};
g) 𝐺 = {𝑥 ∈ ℤ−∗|𝑥 ≤ 3};
h) 𝐻 = {𝑥 ∈ ℤ−|𝑥 ≥ 2};
-
Enunciado
Quantos são os elementos do conjunto {𝑥 ∈ ℕ|10 ≤ 𝑥 ≤ 1000}?
-
Enunciado
Seja o conjunto 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ|2 ≤ 𝑥 ≤ 35, 𝑥 é múltiplo de 2 e 𝑥 é múltiplo de 5}. Qual é o número de elementos de 𝐴?