Exercícios 4 a 6

Conjuntos Numéricos
Conceito Fundamental
Os conjuntos numéricos são agrupamentos de números que compartilham 
propriedades comuns e seguem regras específicas de operação. Esses conjuntos 
foram desenvolvidos ao longo da história da matemática para atender diferentes 
necessidades práticas e teóricas, desde a simples contagem até a resolução de 
equações complexas.

Números Naturais (ℕ)
Definição: O conjunto dos números naturais é formado pelos números utilizados 
para contagem e ordenação.
Representação: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Observação: Alguns autores excluem o zero deste conjunto, representando como 
ℕ* = {1, 2, 3, 4, ...}
Propriedades principais:
• Conjunto infinito (não possui último elemento)
• Possui primeiro elemento (zero ou um, dependendo da definição)
• Fechado para adição e multiplicação (a soma ou produto de dois naturais é 
sempre um natural)
• Não é fechado para subtração e divisão
Aplicações práticas:Contagem de objetos, numeração de páginas, representação 
de quantidades discretas.

Números Inteiros (ℤ)
Definição: O conjunto dos números inteiros estende os naturais incluindo os 
números negativos e o zero.
Representação: ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Subconjuntos importantes:
• ℤ* = inteiros não nulos (excluindo o zero)

• ℤ₊ = inteiros não negativos (números naturais)
• ℤ₋ = inteiros não positivos {..., -3, -2, -1, 0}
Propriedades principais:
• Conjunto infinito em ambas as direções
• Fechado para adição, subtração e multiplicação
• Não é fechado para divisão
• Permite resolver equações do tipo x + a = b para quaisquer inteiros a e b
Relação com ℕ: ℕ ⊂ ℤ (os naturais estão contidos nos inteiros)

Relação de Pertinência:
• ∈ (pertence): x ∈ A significa que x é elemento do conjunto A
• ∉ (não pertence): y ∉ A significa que y não é elemento do conjunto A

Múltiplos de um Número
Definição: Um número natural a é múltiplo de um número natural b quando existe 
um número natural 𝑘 tal que 𝑎 = 𝑏 × 𝑘 .
Em outras palavras, os múltiplos de um número são obtidos multiplicando esse 
número por 0, 1, 2, 3, 4, ...
Exemplos:
Múltiplos de 3: M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ...}
• 3 = 3 × 1
• 6 = 3 × 2
• 9 = 3 × 3, e assim por diante
• Múltiplos de 5: M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ...}
• Múltiplos de 7: M(7) = {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, ...}
Propriedades principais:
▪ Conjunto infinito: Todo número natural possui infinitos múltiplos
▪ Zero é múltiplo de qualquer número: 0 = n × 0 para qualquer n
▪ Todo número é múltiplo de si mesmo: n = n × 1
▪ O menor múltiplo positivo de um número é ele próprio
Como verificar se 𝑎 é múltiplo de 𝑏:
a) Divida 𝑎 por b

b) Se o resultado for um número natural (divisão exata), então 𝑎 é múltiplo de 𝑏
Exemplo: 24 é múltiplo de 6? → 24 ÷ 6 = 4 ✓ (sim, pois 4 é natural)
Representação: Usamos M(n) para indicar o conjunto dos múltiplos de n.