Exercícios 7 a 9

Conjuntos Numéricos
Conceito Fundamental
Os conjuntos numéricos são agrupamentos de números que compartilham 
propriedades comuns e seguem regras específicas de operação. Esses conjuntos 
foram desenvolvidos ao longo da história da matemática para atender diferentes 
necessidades práticas e teóricas, desde a simples contagem até a resolução de 
equações complexas.

Números Naturais (ℕ)
Definição: O conjunto dos números naturais é formado pelos números utilizados 
para contagem e ordenação.
Representação: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Observação: Alguns autores excluem o zero deste conjunto, representando como 
ℕ* = {1, 2, 3, 4, ...}
Propriedades principais:
• Conjunto infinito (não possui último elemento)
• Possui primeiro elemento (zero ou um, dependendo da definição)
• Fechado para adição e multiplicação (a soma ou produto de dois naturais é 
sempre um natural)
• Não é fechado para subtração e divisão
Aplicações práticas:Contagem de objetos, numeração de páginas, representação 
de quantidades discretas.

Números Inteiros (ℤ)
Definição: O conjunto dos números inteiros estende os naturais incluindo os 
números negativos e o zero.
Representação: ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Subconjuntos importantes:
• ℤ* = inteiros não nulos (excluindo o zero)

• ℤ₊ = inteiros não negativos (números naturais)
• ℤ₋ = inteiros não positivos {..., -3, -2, -1, 0}
Propriedades principais:
• Conjunto infinito em ambas as direções
• Fechado para adição, subtração e multiplicação
• Não é fechado para divisão
• Permite resolver equações do tipo x + a = b para quaisquer inteiros a e b
Relação com ℕ: ℕ ⊂ ℤ (os naturais estão contidos nos inteiros)

Relação de Pertinência:
• ∈ (pertence): x ∈ A significa que x é elemento do conjunto A
• ∉ (não pertence): y ∉ A significa que y não é elemento do conjunto A

União de Conjuntos (∪)
Definição: A união de dois conjuntos 𝐴 e 𝐵 é o conjunto formado por todos os 
elementos que pertencem a 𝐴 𝒐𝒖 𝑎 𝐵 (ou a ambos).
Notação: 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 𝑜𝑢 𝑥 ∈ 𝐵}
Exemplo:
𝐴 = {1, 2, 3}
𝐵 = {3, 4, 5}
𝐴 ∪ 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5}

Subconjuntos
Definição:
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B quando todos os elementos de A 
também pertencem a B.
Notação:
• A ⊂ B → A é subconjunto próprio de B (A está contido em B, mas A ≠ B)
• A ⊆ B → A está contido em B ou é igual a B
• A ⊄ B → A não é subconjunto de B
Condição:
A ⊆ B significa que: se x ∈ A, então x ∈ B
Tipos de Subconjuntos:
- Subconjunto Próprio (⊂):
• A é subconjunto de B, mas A ≠ B

• Exemplo: {1, 2} ⊂ {1, 2, 3}
- Subconjunto Impróprio (⊆):
• Todo conjunto é subconjunto dele mesmo
• Exemplo: {1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3}
- Conjunto Vazio:
• O conjunto vazio (∅) é subconjunto de qualquer conjunto
• ∅ ⊆ A (para qualquer conjunto A)
Propriedades:
- Reflexiva: A ⊆ A (todo conjunto é subconjunto de si mesmo)
- Transitiva: Se A ⊆ B e B ⊆ C, então A ⊆ C
- Antissimétrica: Se A ⊆ B e B ⊆ A, então A = B
Número de Subconjuntos:
Se um conjunto tem n elementos, ele possui 2ⁿ subconjuntos (incluindo o vazio 
e ele mesmo).
- Exemplo:
• A = {a, b} tem 2² = 4 subconjuntos: ∅, {a}, {b}, {a, b}
Exemplos:
• {1, 2} ⊂ {1, 2, 3, 4}
• ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
• {vogais} ⊂ {letras do alfabeto}

Interseção de Conjuntos (∩)
Definição: A interseção de dois conjuntos 𝐴 e 𝐵 é o conjunto formado pelos 
elementos que pertencem simultaneamente a 𝐴 𝒆 a 𝐵.
Notação: 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∈ 𝐵}
Exemplo:
𝐴 = {1, 2, 3}
𝐵 = {3, 4, 5}
𝐴 ∩ 𝐵 = {3}
 

Diferença de Conjuntos (−)
Definição: A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto formado pelos 
elementos que pertencem a A mas não pertencem a B.
Notação: 𝐴 − 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∉ 𝐵}
Exemplo:
𝐴 = {1, 2, 3}
𝐵 = {3, 4, 5}
𝐴 − 𝐵 = {1, 2}
𝐵 − 𝐴 = {4, 5}
Observações Importantes:
• Conjuntos disjuntos: Quando 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ (conjunto vazio)
• A união é comutativa: 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴
• A interseção é comutativa: 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴
• A diferença não é comutativa: 𝐴 − 𝐵 ≠ 𝐵 − A