Exercícios 9 a 13

Relação de Pertinência:
• ∈ (pertence): x ∈ A significa que x é elemento do conjunto A
• ∉ (não pertence): y ∉ A significa que y não é elemento do conjunto A
 

Número de Elementos de um Conjunto
Definição:
O número de elementos (ou cardinalidade) de um conjunto é a quantidade de 
elementos distintos que ele possui.
Notação:
• n(A) ou |A| ou #A = número de elementos do conjunto A
Tipos de Conjuntos:
- Conjunto Finito:
Possui quantidade limitada de elementos.
• Exemplo: A = {2, 4, 6, 8} → n(A) = 4
- Conjunto Infinito:
Possui quantidade ilimitada de elementos.
• Exemplo: ℕ = {0, 1, 2, 3, ...} → n(ℕ) = ∞
- Conjunto Vazio:
Não possui elementos.
• Exemplo: ∅ = { } → n(∅) = 0
- Conjunto Unitário:
Possui apenas um elemento.
• Exemplos: {𝜋}, {𝑜𝑐𝑒𝑎𝑛𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑏𝑎𝑛ℎ𝑎 𝑜 𝐵𝑟𝑎𝑠𝑖𝑙}

Subconjuntos
Definição:
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B quando todos os elementos de A 
também pertencem a B.
Notação:
• A ⊂ B → A é subconjunto próprio de B (A está contido em B, mas A ≠ B)
• A ⊆ B → A está contido em B ou é igual a B
• A ⊄ B → A não é subconjunto de B
Condição:
A ⊆ B significa que: se x ∈ A, então x ∈ B
Tipos de Subconjuntos:
- Subconjunto Próprio (⊂):
• A é subconjunto de B, mas A ≠ B
• Exemplo: {1, 2} ⊂ {1, 2, 3}
- Subconjunto Impróprio (⊆):
• Todo conjunto é subconjunto dele mesmo
• Exemplo: {1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3}
- Conjunto Vazio:
• O conjunto vazio (∅) é subconjunto de qualquer conjunto
• ∅ ⊆ A (para qualquer conjunto A)
Propriedades:
- Reflexiva: A ⊆ A (todo conjunto é subconjunto de si mesmo)
- Transitiva: Se A ⊆ B e B ⊆ C, então A ⊆ C
- Antissimétrica: Se A ⊆ B e B ⊆ A, então A = B
Número de Subconjuntos:
Se um conjunto tem n elementos, ele possui 2ⁿ subconjuntos (incluindo o vazio 
e ele mesmo).
- Exemplo:

• A = {a, b} tem 2² = 4 subconjuntos: ∅, {a}, {b}, {a, b}
Exemplos:
• {1, 2} ⊂ {1, 2, 3, 4}
• ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
• {vogais} ⊂ {letras do alfabeto}

Conjunto das Partes (Partes de um Conjunto)
Definição
O conjunto das partes (ou conjunto potência) de um conjunto A, representado por 
P(A) ou ℘(A), é o conjunto formado por todos os subconjuntos possíveis de A.
Características Principais
- Elementos
• Inclui o conjunto vazio (∅)
• Inclui o próprio conjunto A
• Inclui todos os subconjuntos intermediários
- Cardinalidade
Se A possui n elementos, então:
• |P(A)| = 2ⁿ
- Exemplo:
Dado: A = {1, 2, 3}
P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}
• A tem 3 elementos
• P(A) tem 2³ = 8 subconjuntos
Propriedades Importantes
✓ ∅ ∈ P(A) (conjunto vazio sempre pertence)
✓ A ∈ P(A) (o conjunto sempre pertence ao seu próprio conjunto das partes)
✓ B ⊆ A ⟺ B ∈ P(A) (ser subconjunto equivale a pertencer ao conjunto das partes)