INEQUAÇÕES DO 1º GRAU

As inequações do 1º grau são expressões matemáticas que estabelecem relações de desigualdade entre expressões algébricas de primeiro grau. Diferentemente das equações, que buscam valores específicos que tornam uma igualdade verdadeira, as inequações buscam conjuntos de valores (geralmente infinitos) que satisfazem uma desigualdade.

DEFINIÇÃO FUNDAMENTAL

Uma inequação do 1º grau é uma sentença matemática que pode ser escrita na forma:

ax + b < 0, ax + b > 0, ax + b ≤ 0 ou ax + b ≥ 0

Onde:

- a e b são números reais com a ≠ 0

- x é a variável (incógnita)

- Os símbolos <, >, ≤, ≥ representam as relações de desigualdade

 SÍMBOLOS DE DESIGUALDADE

Observação importante: Os símbolos ≤ e ≥ incluem a igualdade, enquanto < e > excluem.

TIPOS DE INEQUAÇÕES DO 1º GRAU

1. INEQUAÇÃO COM "MENOR QUE" (<)

Forma geral: ax + b < c

Exemplo: 2x − 3 < 5

Resolução:

2x − 3 < 5

2x < 5 + 3

2x < 8

x < 4

Solução: x < 4 ou intervalo: (−∞, 4)

Representação gráfica:

Interpretação: Todos os números reais menores que 4 (excluindo o 4) satisfazem a inequação.

2. INEQUAÇÃO COM "MAIOR QUE" (>)

Forma geral: ax + b > c

Exemplo: 3x + 2 > 11

Resolução:

3x + 2 > 11

3x > 11 − 2

3x > 9

x > 3

Solução: x > 3 ou intervalo: (3, +∞)

Representação gráfica:   

Interpretação: Todos os números reais maiores que 3 (excluindo o 3) satisfazem a inequação.

3. INEQUAÇÃO COM "MENOR OU IGUAL" (≤)

Forma geral: ax + b ≤ c

Exemplo: −x + 4 ≤ 7

Resolução:

−x + 4 ≤ 7

−x ≤ 7 − 4

−x ≤ 3

x ≥ −3    (multiplicando por −1, inverte o sinal)

Solução: x ≥ −3 ou intervalo: [−3, +∞)

Representação gráfica:

Interpretação: Todos os números reais maiores ou iguais a −3 (incluindo o −3) satisfazem a inequação.

4. INEQUAÇÃO COM "MAIOR OU IGUAL" (≥)

Forma geral: ax + b ≥ c

Exemplo: 5x − 1 ≥ 9

Resolução:

5x − 1 ≥ 9

5x ≥ 9 + 1

5x ≥ 10

x ≥ 2

Solução: x ≥ 2 ou intervalo: [2, +∞)

Representação gráfica:

Interpretação: Todos os números reais maiores ou iguais a 2 (incluindo o 2) satisfazem a inequação.

REGRAS FUNDAMENTAIS PARA RESOLVER INEQUAÇÕES

Regra 1: Operações que MANTÊM o sentido da desigualdade

Você pode realizar as seguintes operações sem alterar o símbolo de desigualdade:

✓ Somar ou subtrair o mesmo número em ambos os lados

✓ Multiplicar ou dividir ambos os lados por um número positivo

Exemplos:

x + 3 < 7

x < 7 − 3    (subtraiu 3 de ambos os lados)

x < 4        (mantém <)

2x > 8

x > 8/2      (dividiu por 2 positivo)

x > 4        (mantém >)

Regra 2: Operações que INVERTEM o sentido da desigualdade ⚠️

ATENÇÃO ESPECIAL: Ao multiplicar ou dividir ambos os lados por um número negativo, você DEVE INVERTER o sinal de desigualdade.

Exemplos:

-2x < 6

x > 6/(−2)     (dividiu por −2, INVERTEU o sinal)

x > −3

−x ≥ 5

x ≤ −5         (multiplicou por −1, INVERTEU o sinal)

4 − x > 7

−x > 7 − 4

−x > 3

x < −3         (multiplicou por −1, INVERTEU o sinal)

Esta é a regra MAIS IMPORTANTE e onde ocorrem mais erros!

 PROCEDIMENTO GERAL DE RESOLUÇÃO

 Passo a passo:

1. Simplifique ambos os lados da inequação (elimine parênteses, reduza termos semelhantes)

2. Isole os termos com x em um lado e os termos constantes no outro

3. Resolva para x, tomando cuidado ao dividir/multiplicar por negativos

4. Expresse a solução em forma de desigualdade e intervalo

5. Represente graficamente na reta numérica

EXEMPLOS COMPLETOS DE CADA TIPO

EXEMPLO 1: Inequação Simples (<)

Resolver: 3x + 7 < 16

Resolução:

3x + 7 < 16

3x < 16 − 7

3x < 9

x < 3

Solução em intervalo: (−∞, 3)

Verificação: Teste x = 0 (menor que 3): 3(0) + 7 = 7 < 16 ✓

EXEMPLO 2: Inequação com Coeficiente Negativo (>)

Resolver: −2x + 5 > 13

Resolução:

−2x + 5 > 13

−2x > 13 − 5

−2x > 8

x < 8/(−2)     ⚠️ Inverteu o sinal!

x < −4

Solução em intervalo: (−∞, −4)

Verificação: Teste x = −5 (menor que −4): −2(−5) + 5 = 15 > 13 ✓

EXEMPLO 3: Inequação com Denominadores (≤)

Resolver: (x − 1)/2 ≤ 3

Resolução:

(x − 1)/2 ≤ 3

x − 1 ≤ 6         (multiplicou por 2 positivo, mantém ≤)

x ≤ 7

Solução em intervalo: (−∞, 7]

Observação: O 7 está incluído (bolinha fechada ●)

EXEMPLO 4: Inequação com Parênteses (≥)

Resolver: 2(x − 3) − 5 ≥ x + 1

Resolução:

2(x − 3) − 5 ≥ x + 1

2x − 6 − 5 ≥ x + 1        (distributiva)

2x − 11 ≥ x + 1

2x − x ≥ 1 + 11

x ≥ 12

Solução em intervalo: [12, +∞)

EXEMPLO 5: Inequação Composta (<)

Resolver: 5 − 3x < 2x − 10

Resolução:

5 − 3x < 2x − 10

5 + 10 < 2x + 3x

15 < 5x

15/5 < x

3 < x

Ou reescrevendo: x > 3

Solução em intervalo: (3, +∞)

 União de Intervalos (∪)

A união de dois intervalos A e B, denotada por A ∪ B, é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B (ou a ambos).

Exemplos:

1. [1, 4] ∪ [3, 7] = [1, 7]

  - Os intervalos se sobrepõem, formando um único intervalo contínuo

2. [0, 2] ∪ [5, 8] = [0, 2] ∪ [5, 8]

  - Os intervalos são disjuntos (não se tocam), mantém-se a notação de união

3. (−∞, 3) ∪ [3, +∞) = ℝ

  - Juntos cobrem toda a reta real

Propriedade importante: Se dois intervalos se sobrepõem ou se tocam, a união resulta em um único intervalo contínuo.

Interseção de Intervalos (∩)

A interseção de dois intervalos A e B, denotada por A ∩ B, é o conjunto formado apenas pelos elementos que pertencem simultaneamente a A e a B.

Exemplos:

1. [1, 5] ∩ [3, 7] = [3, 5]

  - Apenas a região comum aos dois intervalos

2. (0, 4) ∩ [2, 6] = [2, 4)

  - Observe que mantemos o parêntese em 4 (mais restritivo)

3. [1, 3] ∩ [5, 8] = ∅

  - Intervalos disjuntos resultam em conjunto vazio

4. [2, 6] ∩ (−∞, 4) = [2, 4)

  - Parte limitada pela interseção

Regra prática: Na interseção, prevalece sempre a condição mais restritiva:

- Entre ( e [, prevalece (

- O intervalo resultante é limitado pelos extremos mais "internos"