ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO DO 1º GRAU

Estudar o sinal de f(x) = ax + b é determinar para quais valores de x a função é positiva (+), negativa (−) ou nula (0).

PASSO A PASSO

 1. Calcule a raiz (zero da função)

xᵣ = −b/a (onde f(x) = 0)

 2. Identifique o sinal de a

- a > 0 → função crescente

- a < 0 → função decrescente

 3. Monte o diagrama de sinais

CASO 1: FUNÇÃO CRESCENTE (a > 0)

Padrão: Reta sobe → /

 Diagrama de sinais:

 Interpretação:

- f(x) < 0 para x < xᵣ (à esquerda)

- f(x) = 0 para x = xᵣ (na raiz)

- f(x) > 0 para x > xᵣ (à direita)

Regra: "Antes NEGATIVO, depois POSITIVO"

CASO 2: FUNÇÃO DECRESCENTE (a < 0)

Padrão: Reta desce → \

Diagrama de sinais:

 Interpretação:

- f(x) > 0 para x < xᵣ (à esquerda)

- f(x) = 0 para x = xᵣ (na raiz)

- f(x) < 0 para x > xᵣ (à direita)

Regra: "Antes POSITIVO, depois NEGATIVO"

EXEMPLOS 

1. f(x) = 2x − 8 (a = 2 > 0)

Raiz: 2x − 8 = 0 → x = 4

Diagrama:

Resposta:

- f(x) < 0 em (−∞, 4)

- f(x) = 0 em x = 4

- f(x) > 0 em (4, +∞)

2)  f(x) = −3x + 9 (a = −3 < 0)

     Raiz: −3x + 9 = 0 → x = 3

     Diagrama:

  Resposta:

  - f(x) > 0 em (−∞, 3)

  - f(x) = 0 em x = 3

  - f(x) < 0 em (3, +∞)

TABELA RESUMO

APLICAÇÃO: RESOLVER INEQUAÇÕES

Para resolver ax + b > 0 ou ax + b < 0:

1. Calcule a raiz: xᵣ = −b/a

2. Faça o diagrama conforme o sinal de a

3. Identifique onde está + (positivo) ou − (negativo)

Exemplo: Resolver 3x − 6 > 0

- Raiz: x = 2

- a > 0: −●+

- f(x) > 0 em x > 2

- Solução: (2, +∞)

REGRA DE OURO

a > 0: Sinal muda de MENOS para MAIS (−●+)

a < 0: Sinal muda de MAIS para MENOS (+●−)

DICAS PRÁTICAS

✓ Sempre calcule a raiz primeiro: xᵣ = −b/a

✓ Olhe o sinal de a para escolher o padrão

✓ Desenhe o diagrama para visualizar

✓ Teste com um valor para confirmar

✓ Lembre: a raiz é onde a função cruza o eixo x

INEQUAÇÕES PRODUTO E QUOCIENTE

Inequações Produto

Forma: (ax + b)(cx + d) > 0 ou < 0

Método de resolução:

1. Encontre as raízes (zeros) igualando cada fator a zero

2. Marque as raízes na reta numérica

3. Analise o sinal do produto em cada intervalo

4. Selecione os intervalos que satisfazem a desigualdade

EXEMPLO: (x − 2)(x + 1) > 0

Raízes: x = 2 e x = −1

Análise de sinais:

Intervalo          | (−∞, −1) | (−1, 2) | (2, +∞)

Solução: (−∞, −1) ∪ (2, +∞) — onde o produto é positivo

Inequações Quociente

Forma: (ax + b)/(cx + d) > 0 ou < 0

Método similar ao produto, mas:

- O denominador nunca pode ser zero

- Exclua sempre o valor que anula o denominador

EXEMPLO: (x + 3)/(x − 1) ≥ 0

Valores críticos: x = −3 (zero do numerador) e x = 1 (zero do denominador)

Análise de sinais:

Intervalo          | (−∞, −3] | (−3, 1) | (1, +∞)

Solução: (−∞, −3] ∪ (1, +∞)

Atenção: O −3 está incluído (≥), mas o 1 nunca pode ser incluído (anularia denominador)

INEQUAÇÕES COM POTÊNCIAS

REGRA FUNDAMENTAL: SINAL DAS POTÊNCIAS

EXPOENTE PAR (2, 4, 6, 8, ...)

- (expressão)ⁿ ≥ 0 sempre (nunca é negativo!)

- (expressão)ⁿ = 0 somente quando expressão = 0

 EXPOENTE ÍMPAR (1, 3, 5, 7, 9, ...)

- (expressão)ⁿ tem o mesmo sinal da expressão base

RESUMO VISUAL

MÉTODO DE RESOLUÇÃO

 PASSO A PASSO:

1. Encontre as raízes (zeros de cada fator)

2. Identifique se cada expoente é par ou ímpar

3. Monte o quadro de sinais:

  - Expoente ímpar: faça estudo de sinal normal (−−−●+++)

  - Expoente par: sempre positivo (+++●+++)

4. Multiplique os sinais em cada intervalo

5. Escolha os intervalos que satisfazem a desigualdade

6. ⚠️ SEMPRE exclua raízes do denominador

EXEMPLO 1: Uma potência com expoente ímpar

(x − 3)⁹ < 0

Resolução:

- Expoente 9 é ímpar → mesmo sinal da base

- (x − 3)⁹ < 0 ⟺ x − 3 < 0

- Solução: x < 3 ou (−∞, 3)

EXEMPLO 2: Uma potência com expoente par

(x − 3)¹⁰ < 0

Resolução:

- Expoente 10 é par → sempre ≥ 0

- Nunca é negativo!

- Solução: ∅ (conjunto vazio)

EXEMPLO 3: Produto de potências

(x − 2)³(x + 1)² > 0

Raízes: x = 2 e x = −1

Quadro de sinais:

Queremos > 0: Solução: (2, +∞)

EXEMPLO 4: O problema do enunciado

(x − 3)⁹ / (x − 1)¹⁰ < 0

Raízes:

- Numerador: x = 3

- Denominador: x = 1 (⚠️ EXCLUIR)

Análise:

- (x − 3)⁹: expoente ímpar → muda sinal

 - Negativo em x < 3

 - Positivo em x > 3

- (x − 1)¹⁰: expoente par → sempre positivo

 - Não muda sinal (exceto zero em x = 1)

Quadro de sinais:

Queremos < 0:

Solução: (−∞, 1) ∪ (1, 3)

Diagrama:

 (○ = excluído; ● = zero incluído ou não conforme <, ≤, >, ≥)

REGRAS PRÁTICAS

 ✓ Expoente PAR:

- Nunca muda o sinal do resultado

- Sempre ≥ 0

- Só marca onde é zero

 ✓ Expoente ÍMPAR:

- Faz estudo de sinal normal

- Causa mudanças de sinal

 ✓ Denominador:

- SEMPRE exclua suas raízes (mesmo com ≤ ou ≥)

 ✓ Verificação rápida:

- Teste um valor em cada intervalo

REGRA DE OURO

Expoente PAR: ignorar para análise de sinal (mas marcar zeros)

Expoente ÍMPAR: fazer estudo de sinal completo

ERRO MAIS COMUM

❌ Achar que (expressão)² < 0 tem solução

✓ Lembrar: potência par NUNCA é negativa!

FÓRMULA MENTAL

Para (x − a)ᵐ / (x − b)ⁿ:

1. Se m é ímpar: estude sinal de (x − a)

2. Se m é par: esse fator é sempre +

3. Se n é ímpar: estude sinal de (x − b)

4. Se n é par: esse fator é sempre + (mas x ≠ b!)

5. Multiplique os sinais e escolha intervalos

SISTEMA DE INEQUAÇÕES

Um sistema de inequações é formado por duas ou mais inequações que devem ser satisfeitas simultaneamente. A solução é a interseção dos conjuntos-solução de cada inequação.

Notação:

  x + 2 > 5

 3x − 1 ≤ 8

Procedimento de resolução:

1. Resolva cada inequação separadamente

2. Encontre a interseção das soluções

3. Expresse a solução final em intervalo

EXEMPLO:

  2x − 3 < 7

  x + 1 ≥ 2

Resolvendo a primeira:

2x − 3 < 7

2x < 10

x < 5  →  (−∞, 5)

Resolvendo a segunda:

x + 1 ≥ 2

x ≥ 1  →  [1, +∞)

Interseção: (−∞, 5) ∩ [1, +∞) = [1, 5)

Representação gráfica: 

Solução: [1, 5) — x deve satisfazer ambas as condições