Exercícios 41 a 44

União de Conjuntos (∪)
Definição: A união de dois conjuntos 𝐴 e 𝐵 é o conjunto formado por todos os 
elementos que pertencem a 𝐴 𝒐𝒖 𝑎 𝐵 (ou a ambos).
Notação: 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 𝑜𝑢 𝑥 ∈ 𝐵}
Exemplo:
𝐴 = {1, 2, 3}
𝐵 = {3, 4, 5}
𝐴 ∪ 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5}

Interseção de Conjuntos (∩)
Definição: A interseção de dois conjuntos 𝐴 e 𝐵 é o conjunto formado pelos 
elementos que pertencem simultaneamente a 𝐴 𝒆 a 𝐵.
Notação: 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∈ 𝐵}
Exemplo:
𝐴 = {1, 2, 3}
𝐵 = {3, 4, 5}
𝐴 ∩ 𝐵 = {3}

Diferença de Conjuntos (−)
Definição: A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto formado pelos 
elementos que pertencem a A mas não pertencem a B.
Notação: 𝐴 − 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∉ 𝐵}
Exemplo:
𝐴 = {1, 2, 3}
𝐵 = {3, 4, 5}
𝐴 − 𝐵 = {1, 2}
𝐵 − 𝐴 = {4, 5}
Observações Importantes:
• Conjuntos disjuntos: Quando 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ (conjunto vazio)
• A união é comutativa: 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴
• A interseção é comutativa: 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴
• A diferença não é comutativa: 𝐴 − 𝐵 ≠ 𝐵 − A

Número de Elementos de um Conjunto
Definição:

O número de elementos (ou cardinalidade) de um conjunto é a quantidade de 
elementos distintos que ele possui.
Notação:
• n(A) ou |A| ou #A = número de elementos do conjunto A

Propriedades Importantes:
- Elementos não se repetem:
o {1, 2, 2, 3} tem 3 elementos (não 4)
- Para união de conjuntos:
o n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
- Para conjuntos disjuntos:
o Se A ∩ B = ∅, então n(A ∪ B) = n(A) + n(B)
4.5 Exemplos:
• A = {a, e, i, o, u} → n(A) = 5
• B = {x | x é par e 0 < x < 10} = {2, 4, 6, 8} → n(B) = 4
• C = { } → n(C) = 0
 

Divisores de um Número

Definição: Os divisores de um número natural são todos os números naturais que 
o dividem de forma exata, ou seja, com resto zero.
Explicação intuitiva: Um divisor é um número que "cabe" perfeitamente dentro 
de outro, sem sobrar nada. Por exemplo, 3 é divisor de 12 porque 12 ÷ 3 = 4 (exato).
Notação matemática:
• D(n) = {d ∈ ℕ | n ÷ d tem resto 0}
• Ou seja, d é divisor de n quando existe k tal que n = d × k
Exemplos práticos:
• D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
• D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Propriedades dos Divisores
a) Quantidade de divisores:
• Todo número possui uma quantidade finita de divisores
• O menor divisor de qualquer número natural (exceto 0) é sempre 1

• O maior divisor de qualquer número é ele próprio
b) Relação entre divisores:
• Se a é divisor de b, então a ≤ b (considerando números positivos)
• Se a é divisor de b e b é divisor de c, então a é divisor de c (propriedade 
transitiva)
c) Divisores comuns:
• Dois ou mais números sempre possuem pelo menos um divisor comum (o 
número 1)
• O maior divisor comum é chamado MDC (Máximo Divisor Comum)
Critérios de Divisibilidade
São regras práticas para identificar rapidamente se um número é divisível por 
outro, sem realizar a divisão:
Divisibilidade por 2: O número termina em 0, 2, 4, 6 ou 8
• Exemplo: 348 é divisível por 2
Divisibilidade por 3: A soma dos algarismos é divisível por 3
• Exemplo: 132 → 1+3+2 = 6 (divisível por 3)
Divisibilidade por 4: Os dois últimos algarismos formam um número divisível por 
• Exemplo: 516 → 16 é divisível por 4
Divisibilidade por 5: O número termina em 0 ou 5
• Exemplo: 375 é divisível por 5
Divisibilidade por 6: O número é divisível por 2 E por 3 simultaneamente
• Exemplo: 234 (par e 2+3+4=9, divisível por 3)
Divisibilidade por 9: A soma dos algarismos é divisível por 9
• Exemplo: 567 → 5+6+7 = 18 (divisível por 9)
Divisibilidade por 10: O número termina em 0
• Exemplo: 450 é divisível por 10

Múltiplos de um Número
Definição: Os múltiplos de um número natural são todos os resultados obtidos 
quando multiplicamos esse número por qualquer número natural (0, 1, 2, 3, 4, ...).
Explicação intuitiva: Pense nos múltiplos como a "tabuada infinita" de um 
número. Por exemplo, os múltiplos de 3 são todos os números que aparecem 
quando contamos de 3 em 3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18...
Notação matemática:
• M(n) = {0, n, 2n, 3n, 4n, 5n, ...}
• Onde n é um número natural
Exemplos práticos:
• M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...}
• M(7) = {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, ...}

Propriedades dos Múltiplos
a) Quantidade de múltiplos:
• Todo número possui infinitos múltiplos
• O menor múltiplo positivo de qualquer número é ele próprio
• O zero é múltiplo de todos os números
b) Relação entre múltiplos:
• Se a é múltiplo de b, então a ≥ b (considerando números positivos)
• A soma ou diferença de múltiplos de um número também é múltiplo desse 
número
• Exemplo: 15 e 21 são múltiplos de 3, logo 15 + 21 = 36 também é múltiplo 
de 3
c) Múltiplos comuns:
• Dois ou mais números sempre possuem múltiplos em comum
• O menor múltiplo comum positivo é chamado MMC (Mínimo Múltiplo 
Comum)

Relação entre Múltiplos e Divisores
Reciprocidade:

• Se a é múltiplo de b, então b é divisor de a
• Se b é divisor de a, então a é múltiplo de b
Exemplo: 24 é múltiplo de 6, portanto 6 é divisor de 24
Representação matemática:
• a = b × k (onde k é um número natural)
• Nesta igualdade: a é múltiplo de b, e b é divisor de a
 

Números Primos e Compostos
Números Primos: Possuem exatamente dois divisores (1 e ele mesmo)
• Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29...
• Observação: 2 é o único número primo par
Números Compostos: Possuem mais de dois divisores
• Exemplos: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18...
Casos Especiais:
• O número 1 não é primo nem composto (possui apenas um divisor)
• O número 0 não se encaixa nessas classificações
Observações Importantes
✓ Para encontrar todos os divisores de um número: Teste sistematicamente os 
números de 1 até a raiz quadrada do número, pois os divisores aparecem em 
pares.
✓ Diferença fundamental: Os múltiplos "crescem" a partir de um número 
(multiplicando), enquanto os divisores "diminuem" (dividindo exatamente).
✓ Aplicações práticas: Múltiplos e divisores são fundamentais para simplificação 
de frações, cálculo de MMC e MDC, resolução de problemas de contagem e 
periodicidade.
Dicas para Resolução de Problemas
a. Para verificar se um número é múltiplo: Divida-o pelo número base; se o 
resto for zero, é múltiplo.
b. Para listar divisores: Comece por 1 e teste números crescentes até chegar 
ao próprio número.
c. Para trabalhar com múltiplos comuns: Liste os múltiplos de cada número 
até encontrar coincidências.

d. Use os critérios de divisibilidade: Economizam tempo e evitam cálculos 
desnecessários.
e. Atenção ao zero: Lembre-se que zero é múltiplo de todos os números, mas 
não é divisor de nenhum número.