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(FOC – SP) Se \( k \) é um número inteiro e positivo, então \( (-1)^k + (-1)^{k+1} \):
(FCMSCSP) Considere o número 313131𝐴, onde 𝐴 representa o algarismo das unidades. Se esse número é divisível por 4, então o valor máximo que 𝐴 pode assumir é:
(UFPI) Representando por 𝑀(𝑛) o conjunto dos múltiplos de um inteiro 𝑛 qualquer, pode-se afirmar que se 𝑎 e 𝑏 são inteiros e 𝑀(𝑎) ∩ 𝑀(𝑏) = 𝑀(𝑎. 𝑏), então:
(Fuvest – SP) O número 143 é:
Sendo 𝑎 e 𝑏 dois números inteiros, responda:a) 𝐷(𝑎) e 𝐷(𝑏) podem ser disjuntos?b) Que nome se dá a um inteiro 𝑚 tal que 𝐷(𝑎) ∩ 𝐷(𝑏) = 𝐷(𝑚)?c) Quando 𝐷(𝑎) ∩ 𝐷(𝑏) = {−1,1}, qual é a relação existente entre 𝑎 e 𝑏?d) Em que caso ocorre 𝑀(𝑎) ⊂ 𝑀(𝑏)?e) Em que caso ocorre 𝑀(𝑎) ∩ 𝑀(𝑏) = 𝑀(𝑎. 𝑏)?f) Que nome se dá a um inteiro 𝑛 tal que 𝑀(𝑎) ∩ 𝑀(𝑏) = 𝑀(𝑛)?Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993
Sendo 𝑎 e 𝑏 dois números inteiros positivos, é possível mostrar que sempre vale a relação 𝑀𝐷𝐶(𝑎, 𝑏). 𝑀𝑀𝐶(𝑎, 𝑏) = 𝑎. 𝑏. Com base nesse fato, encontre dois números 𝑥 e 𝑦, primos entre si, cujo 𝑀𝑀𝐶 seja 60.Fonte: MACHADO, N. J. (1988). Matemática por Assunto. Vol. 1. São Paulo: Scipione
Sendo 𝑎 e 𝑏 dois números inteiros, o conjunto 𝑀(𝑎) ∩ 𝑀(𝑏) é formado pelos múltiplos comuns de 𝑎 e 𝑏. O menor número positivo entre os elementos desse conjunto é o mínimo múltiplo comum de 𝑎 e 𝑏, representado por 𝑀𝑀𝐶(𝑎, 𝑏). Sendo assim, determine:a) 𝑀(3) ∩ 𝑀(9) e 𝑀𝑀𝐶(3,9);b) 𝑀(4) ∩ 𝑀(5) e 𝑀𝑀𝐶(4, 5).Fonte: MACHADO, N. J. (1988). Matemática por Assunto. Vol. 1. São Paulo: Scipione.
Quando o máximo divisor comum de dois números inteiros positivos 𝑎 e 𝑏 é 1, então 𝑎 e 𝑏 são chamados números primos entre si. Verifique se são primos entre si.a) 5 e 21;b) 9 e 15.Fonte: MACHADO, N. J. (1988). Matemática por Assunto. Vol. 1. São Paulo: Scipione
Sendo 𝑎 e 𝑏 dois números inteiros, o conjunto 𝐷(𝑎) ∩ 𝐷(𝑏) é formado pelos divisores positivos comuns de 𝑎 e 𝑏. O maior elemento positivo de 𝐷(𝑎) ∩ 𝐷(𝑏) é chamado máximo divisor comum de 𝑎 e 𝑏 e é representado por 𝑀𝐷𝐶(𝑎, 𝑏). Desta forma encontre:a) 𝐷(6) ∩ 𝐷(12) e 𝑀𝐷𝐶(6,12);b) 𝐷(5) ∩ 𝐷(7) e 𝑀𝐷𝐶(5,7);c) 𝐷(6) ∩ 𝐷(15) e 𝑀𝐷𝐶(6,15).
Determine os elementos dos seguintes subconjuntos de ℤ, sendo 𝐷(𝑛) o conjunto dos divisores de 𝑛 e 𝑀(𝑛) o conjunto dos múltiplos de 𝑛.a) 𝐷(15);b) 𝐷(−12);c) 𝐷(−18) ∩ 𝐷(10);d) 𝑀(5);e) 𝑀(−6);f) 𝑀(−8) ∩ 𝑀(6);
Sejam os conjuntos \( A = \{x \in \mathbb{Z} \mid -2 < x \leq 3\} \) e \( B = \{x \in \mathbb{N} \mid x^2 < 25\} \). Encontre \( (A \cup B) - (A \cap B) \)
(UF-BA) Dados os conjuntos \( A = \{x \in \mathbb{Z} \mid -2 < x \leq 1\} \), \( B = \{x \in \mathbb{Z} \mid -3 \leq x < 1\} \), classifique em V (verdadeiro) ou F (falso) as afirmações à seguir. Assinale as verdadeiras
Assinale as proposições verdadeiras:Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
a) \( \mathbb{Z}_+ \cap \mathbb{Z}_- \)b) \( \mathbb{Z}^*_+ \cup \mathbb{Z}^*_- \)c) \( \mathbb{Z} - \{0\} \)d) \( \mathbb{Z} - \mathbb{N} \)Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática - Tema e Metas: Conjuntos Numéricos e Funções. 2. ed. São Paulo: Atual, 1988.
a) \( -2 \) ____ \( \mathbb{Z}^*_- \)b) \( +5 \) ____ \( \mathbb{Z}_+ \)c) \( -(−5)^7 \) ____ \( \mathbb{Z}_+ \)d) \( 0 \) ____ \( \mathbb{Z}^*_+ \)e) \( -200 \) ____ \( \mathbb{Z}_- \)f) \( ((-10)^3)^4 \) ____ \( \mathbb{Z}^*_+ \)g) \( -5^2 \) ____ \( \mathbb{Z}_+ \)h) \( -\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} \) ____ \( \mathbb{Z} \)
Um subconjunto 𝑋 de números naturais contém 12 múltiplos de 4, 7 múltiplos de 6, 5 múltiplos de 12 e 8 números ímpares. Qual é o número de elementos de 𝑋?Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Seja o conjunto 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ|2 ≤ 𝑥 ≤ 35, 𝑥 é múltiplo de 2 e 𝑥 é múltiplo de 5}. Qual é o número de elementos de 𝐴?
Quantos são os elementos do conjunto {𝑥 ∈ ℕ|10 ≤ 𝑥 ≤ 1000}?
Determine, relacionando os elementos, os seguintes subconjuntos:a) 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ|𝑥 < 6};b) 𝐵 = {𝑥 ∈ ℤ+∗|𝑥 ≤ 6};c) 𝐶 = {𝑥 ∈ ℤ∗|𝑥 ≥ −2};d) 𝐷 = {𝑥 ∈ ℕ|5 < 𝑥 ≤ 12};e) 𝐸 = {𝑥 ∈ ℤ−| − 5 ≤ 𝑥 ≤ 9};f) 𝐹 = {𝑥 ∈ ℕ|4 < 𝑥 < 6};g) 𝐺 = {𝑥 ∈ ℤ−∗|𝑥 ≤ 3};h) 𝐻 = {𝑥 ∈ ℤ−|𝑥 ≥ 2};
Considerando os conjuntos 𝐴, 𝐵 e 𝐶, representados na figura, e sabendo que:𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 24𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 4𝑛(𝐵 ∪ 𝐶) = 16𝑛(𝐴 − 𝐶) = 11𝑛(𝐵 − 𝐶) = 10, calcule:a) 𝑛(𝐴 − 𝐵);b) 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶);c) 𝑛(𝐵 − (𝐶 ∪ 𝐴));d) 𝑛((𝐴 ∩ 𝐵) − 𝐶);e) 𝑛(𝐵 − (𝐴 ∩ 𝐵)).Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Se 𝐴 = {5. 𝑛|𝑛 ∈ ℕ} e B= {𝑛 ∈ ℕ|𝑛 é 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 90}, encontre o número de elementos de 𝐴 ∩ 𝐵.
Sendo 𝐴, 𝐵, e 𝐶 conjuntos finitos, estabeleça uma fórmula para calcular 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶).Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Sejam 𝐴 e 𝐵 dois conjuntos. O conjunto 𝐵 tem 10 elementos, 𝐴 ∩ 𝐵 tem 6 elementos e 𝐴 ∪ 𝐵 tem 15 elementos. Quantos elementos tem o conjunto A?
Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei, 20 jogam vôlei e xadrez, 22 jogam xadrez e tênis, 18 jogam vôlei e tênis, 11 jogam as três modalidades. O número de pessoas que jogam xadrez é igual ao número de pessoas que jogam tênis. Pergunta-se:a) Quantos jogam tênis e não jogam vôlei?b) Quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei?c) Quantos jogam vôlei e não jogam xadrez?Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
