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(ITA-SP) \( \sqrt{-2kx^2 - 3kx + 2k} \) tem valor real para:
(GV-SP) A condição para que o trinômio \( mx^2 + (m + 1)x + 1 \) seja sempre positivo, qualquer que seja \( x \), é que:
# (MACK-SP) As raízes da equação \( (a - b + c)x^2 + 4(a - b)x + (a - b - c) = 0 \), com \( a - b + c \neq 0 \) são reais:
# (CESGRANRIO) Se a equação \( 7x^2 + bx + 2 = 0 \) não admite raízes reais, o coeficiente \( b \) satisfaz a condição:
(MACK-SP) A desigualdade \( x^2 - 2(m + 2)x + m + 2 > 0 \) é verificada para todo número real \( x \), se e somente se:
(PM Ceará). O batalhão de polícia militar de uma cidade constituída dos bairros B1, B2 e B3 será dividido em três pelotões distintos de modo que cada um fique responsável pelo policiamento ostensivo de um desses bairros. As populações dos bairros B1, B2 e B3 são, respectivamente, iguais a 60.000, 66.000 e 74.000 pessoas; o batalhão possui um efetivo de 4.000 militares dos quais 300 trabalham exclusivamente em uma central única de comunicação e inteligência, não caracterizando atividade policial ostensiva; e todos os militares do batalhão residem na cidade. Com base nessa situação hipotética, julgue a afirmação a seguir:Se as quantidades de policiais do sexo feminino em cada um dos três pelotões são números que satisfazem à inequação \( x^2 - 520x + 64.000 < 0 \), então, é correto afirmar que no batalhão, há mais de 600 policiais do sexo feminino?
# (CESCEA-SP) O conjunto de todos os números reais \( x \) para os quais a expressão \( \frac{\sqrt{4 - x^2}}{\sqrt[3]{x - 1}} \), está definida é:
(UFCE) A idade de Paulo, em anos, é um número inteiro para que satisfaz a desigualdade \( x^2 - 32x + 252 < 0 \). O número que representa a idade de Paulo pertence ao conjunto:
(BASA – Cesgranrio). No conjunto dos números reais, considere as seguintes duas inequações:Inequação 1: \( 5x - 7 > x^2 - x + 1 \)Inequação 2: \( x + 6 > -x + 10 \)Um número real x, que é solução da inequação 2, também será solução da inequação 1, se, e somente se, for solução da inequação:
(PUC-SP) Se \( A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 3x + 2 \leq 0\} \) e \( B = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 4x + 3 > 0\} \), então \( A \cap \overline{B} \) é igual a:
(FGV-SP) Se \( A = \{x \in \mathbb{R} \mid 3x - 2x^2 \geq 0\} \), \( B = \{x \in \mathbb{R} \mid 1 \leq x \leq 3\} \) e \( C = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - x - 2 \geq 0\} \), determine \( (A \cup B) \cap C \):
(EPUSP) – Seja \( A \) o conjunto dos números inteiros positivos que satisfazem a inequação \( (3x - 3)(2x - 5) < (5 - 2x)^2 \), então:
(UEL-PR) O conjunto dos valores reais de \( x \) que tornam verdadeira a sentença \( 2x^2 - x < 1 \), é:
Resolva as inequações:a) \( x^3 - x^2 - 12x \leq 0 \)b) \( -x^3 + 6x^2 - 9x \leq 0 \)Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Resolva as inequações em \( \mathbb{R} \):a) \( \frac{4m - 3}{2} \geq \frac{3}{4} + m(m - 1) \)b) \( x(x^2 + 1) + (x + 2)(x - 2) \geq x^2(2 + x) \)c) \( (y - 5)^2 - 2(y - 5) > -1 \)Fonte: MACHADO, Antonio Dos Santos. Matemática na escola do 2º grau. São Paulo: Atual, 1996.
Resolva cada uma das inequações, em \( \mathbb{R} \):a) \( -3(x^2 + 2x) + 4x \leq 6x(-x + 2) \)b) \( (2x - 1)^2 + 5 \leq 2(2 - x) \)Fonte: MUNHOZ, Aida F. da Silva; IKIEZAKI, Iracema Mori. Elementos de Matemática. São Paulo: FTD, 1997.
Resolva as inequações em ℝ:a) \( -4x^2 + 20x - 25 \geq 0 \)b) \( 4 \leq x^2 \)c) \( -9x^2 \geq 0 \)
Resolva em ℝ as inequações:a) \( \frac{2}{3}x^2 + \frac{7}{2}x \leq 0 \)b) \( -2x^2 + 3x - 2 < 0 \)c) \( 3x^2 + 7x + 2 \geq 0 \)Fonte: MUNHOZ, Aida F. da Silva; IKIEZAKI, Iracema Mori. Elementos de Matemática. São Paulo: FTD, 1997.
Ao resolver uma equação do 2º grau, um aluno comete um erro no termo independente de \( x \) e obtém as raízes 4 e 6. Outro aluno, comete um erro no coeficiente do termo de 1º grau e obtém as raízes -5 e -2. A equação correta é:IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antônio. Matemática e Realidade: 8ª Série. São Paulo: Atual Editora, 2002
Resolva a equação biquadrada a seguir, na incógnita \( x \):\( x^4 = (a^2 + b^2)b^2x^2 - a^2b^6 \)IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antônio. Matemática e Realidade: 8ª Série. São Paulo: Atual Editora, 2002
Resolva as seguintes equações na incógnita \( x \):a) \( abx^2 + (a^2 - b^2)x - ab = 0 \) (\( a \cdot b \neq 0 \))b) \( (ax - 1)(x + a) = (ax - 1)(2x + a) \)IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antônio. Matemática e Realidade: 8ª Série. São Paulo: Atual Editora, 2002
(UFPE) Considere a equação \( x^2 + (k - 4)x - 2k + 4 = 0 \). Indique os valores de \( k \), para os quais o número real 3 está compreendido entre as raízes dessa equação.
(CESGRANRIO-RJ) Sejam \( p \) e \( q \) reais. Se a equação do segundo grau em x, \( x^2 + p^2x + q^2 + 1 = 0 \) tem duas raízes \( x_1 \) e \( x_2 \), então:
Mostre que, sendo 𝑏 > 𝑎 > 0, a equação 𝑎𝑥2 + 2𝑏𝑥 + 𝑎 = 0 tem duas raízes reais distintas.MACHADO, Nilson José. Matemática por assunto: vol. 1. 2. ed. São Paulo: Editora Scipione, 1993.
