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(CESGRANRIO) A função \( f \) é definida no intervalo \( [-2, +2] \) e seu gráfico é composto pelos segmentos de reta \( PQ \) e \( QS \), como se mostra na figura. Se \( f(\sqrt{2}) = -2 \), então \( f(-2) \) vale:
Considere-se a função \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), definida por$$f(x) = \begin{cases} x - 3 & \text{se } x \leq -2 \\ 2x^2 + 1 & \text{se } -2 < x < 3 \\ 5 & \text{se } x \geq 3 \end{cases}$$Pode-se afirmar que o valor de \( f(\pi) + 2f(\sqrt{5}) + f(-2) \) é:
(STA. CASA) Seja a função \( f \), de \( \mathbb{R} \) em \( \mathbb{R} \), definida por$$f(x) = \begin{cases} -2x + 1, & \text{se } x \leq 0 \\ x + 1, & \text{se } x > 0 \end{cases}.$$A soma \( f\left(-\frac{1}{2}\right) + f(0) + f(1) \) é igual a:
(Ulbra – RS) Se \( f(x) = \begin{cases} 3x - 1, & \text{se } x < 0 \\ 4, & \text{se } x = 0 \\ x^2 - 1, & \text{se } x > 0 \end{cases} \), o valor de \( f(1) + f(-1) + f(0) \) é:
Dada a função:$$f(x) = \begin{cases} 3x - 7, & \text{se } x \geqslant 3 \\ 2, & \text{se } 1 < x < 3 \\ x + 1, & \text{se } x \leqslant 1 \end{cases}$$Calcule o valor de:a) \( f(-2) \)b) \( f(0) \)c) \( f(2) \)d) \( f(3) \)e) \( f(4) \)Fonte: BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval. Curso de Matemática: Volume Único. 3. ed. São Paulo: Moderna, 2003.
(ENEM – 2012) Uma função de lucro \( L(x) = -x^2 + 40x - 300 \) (\( x \) em unidades produzidas) modela a situação de uma empresa. Indique o intervalo de produção em que há lucro positivo.Referência: ENEM — 2012 — Prova Azul — Matemática e suas Tecnologias. Provas e gabaritos (INEP): https://www.gov.br/inep/pt-br/areas-de-atuacao/avaliacao-e-exames-educacionais/enem/provas-e-gabaritos
Dois barcos partem de pontos distintos, \( A \) e \( B \), sendo que \( A \) situa-se 50km a leste de \( B \). O barco que sai de \( A \) dirige-se para o oeste, com uma velocidade de 5km/h; o que sai de \( B \) dirige-se para o sul com uma velocidade de 10km/h. Depois de quanto tempo a distância entre eles é mínima?Fonte: MACHADO, Nilson José. Matemática por assunto: vol. 1. 2. ed. São Paulo: Editora Scipione, 1993
Em um pomar em que existiam de 30 laranjeiras produzindo, cada uma, 600 laranjas por ano, foram plantadas \( n \) novas laranjeiras. Depois de um certo tempo constatou-se que, devido à competição por nutrientes do solo, cada laranjeira (tanto nova como velha) estava produzindo 10 laranjas a menos, por ano, por cada nova laranjeira plantada no pomar. Se \( f(n) \) é a produção anual do pomar:a) determine a expressão algébrica de \( f(n) \);b) determine os valores de n para os quais \( f(n) = 0 \);c) quantas novas laranjeiras deveriam ter sido plantadas para que o pomar tenha produção máxima?d) qual é o valor desta produção?
Em jogos de voleibol, um saque é invalidado se a bola atingir o teto do ginásio onde ocorre o jogo. Um jogador de uma equipe tem um saque que atinge uma grande altura. Seu recorde foi quando a batida do saque se iniciou a uma altura de 1,5 m do piso da quadra, e a trajetória da bola foi descrita pela parábola \( y = -\frac{x^2}{6} - \frac{7x}{3} + 12 \), em que \( y \) representa a altura da bola em relação ao eixo \( x \) (das abscissas) que está localizado a 1,5 m do piso da quadra, como representado na figura. Suponha que em todas as partidas algum saque desse jogador atinja a mesma altura do seu recorde. A equipe desse jogador participou de um torneio de voleibol no qual jogou cinco partidas, cada uma delas em um ginásio diferente. As alturas dos tetos desses ginásios, em relação aos pisos das quadras, são:• ginásio I: 17 m;• ginásio II: 18 m;• ginásio III: 19 m;• ginásio IV: 21 m;• ginásio V: 40 m.O saque desse atleta foi invalidado
(UFPR) O lucro diário \( L \) é a receita gerada \( R \) menor o custo de produção \( C \). Suponha que, em certa fábrica, a receita gerada e o custo de produção sejam dados, em reais, pela função \( R(x) = 60x - x^2 \) e \( C(x) = 10(x + 40) \), sendo \( x \) o número de itens produzidos no dia. Sabendo que a fábrica tem capacidade de produzir até 50 itens por dia, considere as seguintes afirmativas:I. O número mínimo de itens \( x \) que devem ser produzidos por dia, para que a fábrica não tenha prejuízo, é 10;II. A função \( L(x) \) é crescente no intervalo [0,25];III. Para que a fábrica tenha o maior lucro possível, deve produzir 30 itens por dia;IV. Se a fábrica produzir 50 itens num único dia, terá prejuízo.Assinale a alternativa correta:
(UFPR) Um retângulo no plano cartesiano possui dois vértices sobre o eixo das abscissas e outros dois vértices sobre a parábola de equação \( y = 4 - x^2 \), com \( y > 0 \). Qual é o perímetro máximo desse retângulo?
(UF Viçosa) A função \( f \), dada por \( f(x) = 10x - x^2 \), representa a área (não nula) de qualquer retângulo de perímetro 20, sendo \( x \) a medida de um dos lados. Então o domínio de \( f \) é, necessariamente:
(UFGO) Seja \( A(x) \) a área do triângulo cujos vértices são os pontos (0,0), \( (x, 0) \) e \( (x, x) \). Então para \( 0 < x \leq 1 \), podemos afirmar que:
(ITA-SP) No sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, a curva \( y = ax^2 + bx + c \) passa pelos pontos \( (1, 1) \), \( (2, m) \) e \( (m, 2) \), onde \( m \) é um número real diferente de 2. Sobre essa curva podemos afirmar que:
(MACK-SP) Em \( y = ax^2 + bx + c \), (\( a \neq 0 \)), com \( a, b \) e \( c \) reais, tem-se \( y \) máximo para \( x = 2 \). Então:
(UF-MG) Para que o trinômio do segundo grau \( y = ax^2 + bx + c \) tenha um mínimo no ponto (0,4), os números reais \( a, b, c \) devem satisfazer as seguintes condições:
(UF-CE) Considere a função \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), definida por \( f(x) = x^2 - 2x + 5 \). Pode-se afirmar corretamente que:
(UNICAMP – 2019) Uma empresa tem receita \( R(x) = -x^2 + 30x \) e custo \( C(x) = 2x + 40 \) (\( x \) em unidades; \( R \) e \( C \) em reais). Determine a produção que maximiza o lucro \( L(x) = R(x) - C(x) \) e o lucro máximo.Referência: UNICAMP — 2019 — 1ª fase — Provas e Gabaritos (Comvest):https://www.comvest.unicamp.br/vestibular/vestibular-anos-anteriores/
Para \( f(x) = x^2 + px + 9 \), determine o valor mínimo de \( f \) e o \( x \) em que ele ocorre, em função de \( p \).Fonte: ABRAMSON, Jay. College Algebra 2e. 2. ed. Houston: OpenStax, 2021. Seção 4.1 – Quadratic Functions (vértice e valor ótimo). Disponível em: https://openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/4-1-quadratic-functions
(ENEM – 2015) O custo total (em reais) para produzir \( x \) unidades é \( C(x) = x^2 - 20x + 300 \). Determine o nível de produção que minimiza o custo e o custo mínimo.Referência: ENEM — 2015 — Prova Azul — Matemática e suas Tecnologias. Provas e gabaritos (INEP): https://www.gov.br/inep/pt-br/areas-de-atuacao/avaliacao-e-exames-educacionais/enem/provas-e-gabaritos
(ENEM — 2017) A Igreja de São Francisco de Assis, obra arquitetônica modernista de Oscar Niemeyer, localizada na Lagoa da Pampulha, em Belo Horizonte, possui abóbadas parabólicas. A seta na Figura 1 ilustra uma das abóbadas na entrada principal da capela. A Figura 2 fornece uma vista frontal desta abóbada, com medidas hipotéticas para simplificar os cálculos. Qual a medida da altura H, em metros, indicada na Figura 2?
Sabendo-se que a trajetória de um corpo lançado obliquamente, desprezados os efeitos do ar, descreve uma parábola definida pela equação \( y = -4x^2 + 120x \) (conforme mostra a figura), calcular:a) O alcance (\( \overline{AB} \)) do lançamento;b) A altura máxima (\( \overline{CD} \)) atingida. Fonte: OLIVEIRA, A. L., MACHADO, A. S., LAUDARES, J. B., ISE, K., FERREIRA, S. F. (1997). Funções – Para Escolas Técnicas Industriais e Centros de Educação Tecnológica. Curitiba. Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná.
(ENEM – 2011) Uma parábola modela a altura de um objeto no tempo por \( h(t) = -4t^2 + 16t + 9 \) (\( t \) em segundos, \( h \) em metros). Determine o instante em que ocorre a altura máxima e o valor dessa altura.Referência: ENEM — 2011 — Prova Azul — Matemática e suas Tecnologias. Provas e gabaritos (INEP): https://www.gov.br/inep/pt-br/areas-de-atuacao/avaliacao-e-exames-educacionais/enem/provas-e-gabaritos
Determine os lados \( x \) e \( y \) do retângulo de área máxima que se pode inscrever em um triângulo equilátero de lado 12m, conforme a figura a seguir.Fonte: MACHADO, Nilson José. Matemática por assunto: vol. 1. 2. ed. São Paulo: Editora Scipione, 1993
