Hora de praticar
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(U.E.CE) Dados três pontos no plano cartesiano, não colineares e com abcissas distintas duas a duas. O número de funções quadráticas que podem ser encontradas de maneira que esses pontos pertençam aos seus gráficos é:
(UFSC) A figura a seguir representa o gráfico de uma parábola cujo vértice é o ponto \( V \). A equação da reta \( r \) é:
(FCMSC-SP) Seja \( f \) uma função do 1º grau definida por \( f(x) = 3x + 4 \) e cujo gráfico corta os eixos nos pontos \( A \) e \( B \). A função quadrática cujo gráfico contém os pontos \( A \), \( B \) e o ponto \( (-1,3) \) é definida por:
(GV-SP) A equação da parábola da figura é:
(UFPE) Um determinado fio é constituído de um material que, quando preso a dois pontos distantes um do outro de 20m e ambos a 13 metros do solo, toma a forma de uma parábola, estando o ponto mais baixo do fio a 3m do solo. Assinale a alternativa que corresponde à parábola no sistema de coordenadas cartesianas \( X0Y \), onde o eixo \( 0Y \) contém o ponto mais baixo do fio e o eixo \( 0X \) está sobre o solo.
(OBMEP – 2018) Determine a função quadrática \( f(x) = ax^2 + bx + c \) que passa por (0, 1), (1, 0) e (2, 1).Referência: OBMEP — Nível 2 — 2ª Fase — 2018. Provas e Soluções (site oficial):https://www.obmep.org.br/provas.htm
(FUVEST – 2021) Determine a função quadrática com raiz dupla em \( x = 3 \) e tal que \( f(1) = 8 \).Referência: FUVEST — 2021 — 1ª Fase — Provas e Gabaritos (Acervo Digital FUVEST):https://acervo.fuvest.br/
(ENEM – 2019) Determine a função quadrática \( f(x) = ax^2 + bx + c \) cujo gráfico intercepta o eixo \( y \) em 4 e tem raízes 1 e 5.Referência: ENEM — 2019 — Prova Azul — Matemática e suas Tecnologias. Provas e gabaritos (INEP): https://www.gov.br/inep/pt-br/areas-de-atuacao/avaliacao-e-exames-educacionais/enem/provas-e-gabaritos
(PUC-MG) O conjunto imagem da função \( f:[-\sqrt{2}, 1] \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = 2x^2 + 1 \) é:
Determine \( m \) na função \( f(x) = -\frac{x^2}{3} + mx - \frac{1}{2} \) definida em ℝ para que a imagem seja \( Im = \{y \in \mathbb{R} | y \leq 7\} \).Fonte: IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos, Funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
Dada a família \( f_k(x) = (x - k)^2 + k \) (\( k \) real), determine o vértice e a imagem de \( f_k \) em função de \( k \).Fonte: ABRAMSON, Jay. College Algebra 2e. 2. ed. Houston: OpenStax, 2021. Seção 4.1 – Quadratic Functions (efeito de parâmetros). Disponível em: https://openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/4-1-quadratic-functions
Determine a imagem de \( f(x) = -2x^2 + 8x - 5 \).Fonte: ABRAMSON, Jay. Precalculus 2e. 2. ed. Houston: OpenStax, 2021. Seção 3.1 – Quadratic Functions (imagem via vértice). Disponível em: https://openstax.org/books/precalculus-2e/pages/3-1-quadratic-functions
(OBMEP – 2019) Determine a imagem de \( h(x) = -2(x - 3)^2 + 5 \).Referência: OBMEP — Nível 3 — 1ª Fase — 2019. Provas e Soluções (site oficial):https://www.obmep.org.br/provas.htm
(PUC-RS) A imagem da função \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), definida por \( f(x) = x^2 - 1 \), é o intervalo:
Determine o conjunto imagem e determine \( y_{máx} \) ou \( y_{min} \) das seguintes funções.a) \( y = 2x^2 - 2x - 4 \)b) \( y = -x^2 - 2x + 5 \)c) \( y = (x - 2)^2 - 2(x - 1) + 3 \)d) \( y = 3x^2 + 2\sqrt{2}x - 2 \)Fonte: MUNHOZ, Aida F. da Silva; IKIEZAKI, Iracema Mori. Elementos de Matemática. São Paulo: FTD, 1997.
Um corpo lançado a partir do ponto (1,0) descreve uma curva dada por \( f(x) = (5 - x)(x - 1) \). Podemos afirmar que o mesmo estará descendo quando:
(FGV-SP) Dada a função \( f(x) = 2x^2 - 5x + 2 \) e o intervalo \( A = \{x \in \mathbb{R} | 0 < x < 1\} \), então a função \( f \) no intervalo A:
(UF BA) A função \( f(x) = \frac{3}{2}x - \frac{x(1-x)}{4} \) é crescente, para todo \( x \) pertencente a:
Para que valores reais de \( x \) é decrescente a função:a) \( f(x) = 3x^2 - 4x + 1 \)b) \( f(x) = -x^2 - 1 \)c) \( f(x) = -2x^2 + 5x \)d) \( f(x) = x^2 - 5x - 6 \)Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Para que valores reais de \( x \) é crescente a função:a) \( f(x) = 2x^2 - 6x - 1 \)b) \( f(x) = -x^2 + 4x + 2 \)c) \( f(x) = x^2 - 4 \)d) \( f(x) = -2x^2 + 3x \)Fonte: GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Conjuntos, Funções, Progressões. São Paulo: FTD, 1992.
Descreva as transformações que levam \( f(x) = x^2 \) em:a) \( f(x) = -3(x - 2)^2 + 5 \)b) \( g(x) = -2(x + 1)^2 + 7 \)Fonte: ABRAMSON, Jay. Algebra and Trigonometry. Houston: OpenStax, 2015. Seção 5.1 – Quadratic Functions (Transformações: translações, reflexões e dilatações). Disponível em: https://openstax.org/books/algebra-and-trigonometry/pages/5-1-quadratic-functions
(UnB-DF) Se o gráfico da função \( f(x) = ax^2 + bx + c \), onde \( a, b, c \in \mathbb{R} \), for tangente ao eixo dos \( x \), então podemos afirmar que:
Uma maneira de calcular, aproximadamente, a área de uma região abaixo do gráfico de uma função é inscrever retângulos de bases iguais nesta região, de modo que a base dos retângulos esteja sobre o eixo \( x \) e um dos vértices de cada retângulo sobre o gráfico da função. Usando esta técnica, quanto maior for o número de retângulos melhor será a aproximação da área da região abaixo do gráfico da função. A Figura abaixo é um exemplo do uso desta técnica para calcular, aproximadamente, a área abaixo do gráfico da função \( f(x) = x^2 \) no intervalo \( [a, b] \). Usando a técnica descrita acima, a área aproximada abaixo do gráfico da função \( g(x) = \frac{x^2}{4} + x + 1 \) no intervalo \( [0, 10] \), usando cinco retângulos será de:
(ENEM) Um túnel deve ser lacrado com uma tampa de concreto. A seção transversal do túnel e a tampa de concreto têm contornos de um arco de parábola e mesmas dimensões. Para determinar o custo da obra, um engenheiro deve calcular a área sob o arco parabólico em questão. Usando o eixo horizontal no nível do chão e o eixo de simetria da parábola como eixo vertical, obteve a seguinte equação para a parábola: \( y = 9 - x^2 \), sendo x e y medidos em metros.Sabe-se que a área sob uma parábola como esta é igual a 2/3 da área do retângulo cujas dimensões são, respectivamente, iguais à base e à altura da entrada do túnel.Qual é a área da parte frontal da tampa de concreto, em metro quadrado?
